Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)，作軸的垂線交軸于點(diǎn).

（1）如圖1，為線段上方拋物線上的一點(diǎn)，在軸上取點(diǎn)，點(diǎn)、為軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)的上方且連接，當(dāng)四邊形的面積最大時(shí)，求的最小值.

（2）如圖2，點(diǎn)在線段上，連接，將沿直線翻折，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為，將沿射線平移個(gè)單位得，在拋物線上取一點(diǎn)，使得以為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，求點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）（2）（7，3），（，），（，），（13，6），（10，）.

【解析】

（1）把四邊形PACO沿OA分成△OAP與△OAC，由于△OAC三邊確定，面積為定值，故△OAP面積最大時(shí)四邊形面積也最大．過點(diǎn)P作x軸垂線交OA于D，設(shè)點(diǎn)P橫坐標(biāo)為t，則能用t表示PD的長，進(jìn)而得到△OAP關(guān)于t的二次函數(shù)關(guān)系式，用公式法可求得t＝時(shí)△OAP面積最大，即求得此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)．把點(diǎn)P向下平移1個(gè)單位得P'，易證四邊形MNP'P是平行四邊形，所以PM＝P'N．過點(diǎn)O作經(jīng)過第二、四象限的直線l，并使直線l與x軸夾角為60°，過點(diǎn)N作NG⊥直線l于點(diǎn)G，則由30°角所對直角邊等于斜邊一半可知NG＝NO．所以PM＋MN＋NO可轉(zhuǎn)化為P'N＋NG＋1，易得當(dāng)點(diǎn)P'、N、G在同一直線上最�。�把PD延長交直線l于點(diǎn)F，構(gòu)造特殊Rt△P'FG和Rt△OEF，利用點(diǎn)P坐標(biāo)和30°、60°的三角函數(shù)即可求得P'G的長．

（2）由點(diǎn)B、C、Q的坐標(biāo)求CQ的長和點(diǎn)C'坐標(biāo)；過點(diǎn)Q'作x軸的垂線段Q'H，易證△CBQ∽△CHQ'，故有，求得CH、HQ'的長即求得點(diǎn)Q'坐標(biāo)，進(jìn)而得到向右向上平移的距離，求得點(diǎn)A'、C'的坐標(biāo)．求直線CQ解析式，設(shè)CQ上的點(diǎn)M橫坐標(biāo)為m，用兩點(diǎn)間距離公式可得用m表示A'M和C'M的長．因?yàn)椤?/span>A'MC'是等腰三角形，分三種情況討論，得到關(guān)于m的方程，求解即求得相應(yīng)的m的值，進(jìn)而得點(diǎn)M坐標(biāo)．

解：（1）如圖1，過點(diǎn)O作直線l，使直線l經(jīng)過第二、四象限且與x軸夾角為60°；

過點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)E，交OA于點(diǎn)D，交直線l于點(diǎn)F；在PF上截取PP'＝1；過點(diǎn)N作NG⊥直線l于點(diǎn)G

∵A（3，3），AB⊥x軸于點(diǎn)B

∴直線OA解析式為y＝x，OB＝AB＝3

∵C（1，0）

∴S△AOC＝OCAB＝×1×3＝，是定值

設(shè)P（t，t2＋4t）（0＜t＜3）

∴D（t，t）

∴PD＝t2＋4tt＝t2＋3t

∴S△OAP＝S△OPD＋S△APD＝PDOE＋PDBE＝PDOB＝（t23t）

∴t＝=時(shí)，S△OAP最大

此時(shí)，S四邊形PACO＝S△AOC＋S△OAP最大

yP＝（）2＋3×＝

∴P（，）

∴P'E＝PEPP'＝1＝，即P'（,）

∵點(diǎn)M、N在y軸上且MN＝1

∴PP'＝MN，PP'∥MN

∴四邊形MNP'P是平行四邊形

∴PM＝P'N

∵∠NGO＝90°，∠NOG＝90°60°＝30°

∴Rt△ONG中，NG＝NO

∴PM＋MN＋NO＝P'N＋NG＋1

∴當(dāng)點(diǎn)P'、N、G在同一直線上，即P'G⊥直線l時(shí)，PM＋MN＋NO＝P'G＋1最小

∵OE＝，∠EOF＝60°，∠OEF＝90°

∴Rt△OEF中，∠OFE＝30°，tan∠EOF＝＝

∴EF＝OE＝

∴P'F＝P'E＋EF＝+

∴Rt△P'GF中，P'G＝P'F＝

∴P'G＋1＝＋1＝

∴PM＋MN＋NO的最小值為

（2）延長A'Q'交x軸于點(diǎn)H

∵C（1，0），Q（3，1），QB⊥x軸于點(diǎn)B

∴CB＝2，BQ＝1

∴CQ＝=

∵△AQC沿直線AB翻折得△AQC'

∴B（3，0）是CC'的中點(diǎn)

∴C'（5，0）

∵平移距離QQ'＝3

∴CQ'＝CQ＋QQ'＝4

∵QB∥Q'H

∴△CBQ∽△CHQ'

∴

∴CH＝4CB＝8，yQ'＝HQ'＝4BQ＝4

∴xQ'＝OC＋CH＝1＋8＝9

∴Q'（9，4）

∴點(diǎn)Q（3，1）向右平移6個(gè)單位，向上平移3個(gè)單位得到點(diǎn)Q'（9，4）

∴A'（9，6），C'（11，3）

∴A'C'＝

設(shè)直線CQ解析式為y＝kx＋b

∴

解得：

∴直線CQ：y＝x

設(shè)射線CQ上的點(diǎn)M（m，m）（m＞1）

∴A'M2＝（9m）2＋（6m+）2＝（9m）2＋（）2

C'M2＝（11m）2＋（3m+）2＝（11m）2＋（）2

∵△A'MC'是等腰三角形

故①若A'M＝A'C'，則（9m）2＋（）2＝13

解得：m1＝7，m2＝

∴M（7，3）或（，）

②若C'M＝A'C'，則（11m）2＋（）2＝13

解得：m1＝，m2＝13

∴M（，）或（13，6）

③若A'M＝C'M，則（9m）2＋（）2＝（11m）2＋（）2

解得：m＝10

∴M（10，）

綜上所述，點(diǎn)M坐標(biāo)為（7，3），（，），（，），（13，6），（10，）.