(2009•湖州)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線l:y=-2x-8分別與x軸,y軸相交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P(0,k)是y軸的負(fù)半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),以P為圓心,3為半徑作⊙P.
(1)連接PA,若PA=PB,試判斷⊙P與x軸的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;
(2)當(dāng)k為何值時(shí),以⊙P與直線l的兩個(gè)交點(diǎn)和圓心P為頂點(diǎn)的三角形是正三角形.

【答案】分析:(1)通過(guò)一次函數(shù)可求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及線段的長(zhǎng),再在Rt△AOP利用勾股定理可求得當(dāng)PB=PA時(shí)k的值,再與圓的半徑相比較,即可得出⊙P與x軸的位置關(guān)系.
(2)根據(jù)正三角形的性質(zhì),分兩種情況討論,
①當(dāng)圓心P在線段OB上時(shí),②當(dāng)圓心P在線段OB的延長(zhǎng)線上時(shí),從而求得k的值.
解答:解:(1)⊙P與x軸相切,(1分)
∵直線y=-2x-8與x軸交于A(-4,0),與y軸交于B(0,-8),
∴OA=4,OB=8.
由題意,OP=-k,
∴PB=PA=8+k.
∵在Rt△AOP中,k2+42=(8+k)2
∴k=-3,(2分)
∴OP等于⊙P的半徑.
∴⊙P與x軸相切.(1分)

(2)設(shè)⊙P1與直線l交于C,D兩點(diǎn),連接P1C,P1D,
當(dāng)圓心P1在線段OB上時(shí),作P1E⊥CD于E,
∵△P1CD為正三角形,
∴DE=CD=,P1D=3.
∴P1E=
∵∠AOB=∠P1EB=90°,∠ABO=∠P1BE,
∴△AOB∽△P1EB.
,即,
.(2分)
∴P1O=BO-BP1=8-
∴P1(0,-8).
∴k=-8.(2分)
當(dāng)圓心P2在線段OB延長(zhǎng)線上時(shí),同理可得P2(0,--8).
∴k=--8.(2分)
∴當(dāng)k=-8或k=--8時(shí),以⊙P與直線l的兩個(gè)交點(diǎn)和圓心P為頂點(diǎn)的三角形是正三角形.
點(diǎn)評(píng):本題考查了一次函數(shù)圖象,圓的切線的判定,相似三角形的判定及性質(zhì),等邊三角形等內(nèi)容,范圍較廣,題目較復(fù)雜.
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B.
C.
D.

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