Question

【題目】已知：一次函數(shù)y=﹣2x+10的圖象與反比例函數(shù)（k＞0）的圖象相交于A，B兩點(diǎn)（A在B的右側(cè)）．

（1）當(dāng)A（4，2）時(shí)，求反比例函數(shù)的解析式及B點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）在1的條件下，反比例函數(shù)圖象的另一支上是否存在一點(diǎn)P，使△PAB是以AB為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）當(dāng)A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10）時(shí)，直線OA與此反比例函數(shù)圖象的另一支交于另一點(diǎn)C，連接BC交y軸于點(diǎn)D．若，求△ABC的面積．

Answer 1

【答案】
（1）

【解答】解：把A（4，2）代入，得k=4×2=8．

∴反比例函數(shù)的解析式為．

解方程組，得

或，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，8）；

（2）

①若∠BAP=90°，

過(guò)點(diǎn)A作AH⊥OE于H，設(shè)AP與x軸的交點(diǎn)為M，如圖1，

對(duì)于y=﹣2x+10，

當(dāng)y=0時(shí)，﹣2x+10=0，解得x=5，

∴點(diǎn)E（5，0），OE=5．

∵A（4，2），∴OH=4，AH=2，

∴HE=5﹣4=1．

∵AH⊥OE，∴∠AHM=∠AHE=90°．

又∵∠BAP=90°，

∴∠AME+∠AEM=90°，∠AME+∠MAH=90°，

∴∠MAH=∠AEM，

∴△AHM∽△EHA，

∴，

∴，

∴MH=4，

∴M（0，0），

可設(shè)直線AP的解析式為y=mx

則有4m=2，解得m=，

∴直線AP的解析式為y=x，

解方程組，得

或，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣4，﹣2）．

②若∠ABP=90°，

同理可得：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣16，）．

綜上所述：符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣4，﹣2）、（﹣16，）；

（3）

過(guò)點(diǎn)B作BS⊥y軸于S，過(guò)點(diǎn)C作CT⊥y軸于T，連接OB，如圖2，

則有BS∥CT，

∴△CTD∽△BSD，

∴．

∵，

∴．

∵A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10），

∴C（﹣a，2a﹣10），CT=a，BS=b，

∴=，即b=a．

∵A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10）都在反比例函數(shù)的圖象上，

∴a（﹣2a+10）=b（﹣2b+10），

∴a（﹣2a+10）=a（﹣2×a+10）．

∵a≠0，

∴﹣2a+10=（﹣2×a+10），

解得：a=3．

∴A（3，4），B（2，6），C（﹣3，﹣4）．

設(shè)直線BC的解析式為y=px+q，

則有，

解得：，

∴直線BC的解析式為y=2x+2．

當(dāng)x=0時(shí)，y=2，則點(diǎn)D（0，2），OD=2，

∴S△COB=S△ODC+S△ODB

=ODCT+ODBS

=×2×3+×2×2=5．

∵OA=OC，

∴S△AOB=S△COB，

∴S△ABC=2S△COB=10．

【解析】（1）只需把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式，就可求出反比例函數(shù)的解析式；解一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式組成的方程組，就可得到點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）△PAB是以AB為直角邊的直角三角形，可分兩種情況討論：①若∠BAP=90°，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥OE于H，設(shè)AP與x軸的交點(diǎn)為M，如圖1，易得OE=5，OH=4，AH=2，HE=1．易證△AHM∽△EHA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出MH，從而得到點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求出直線AP的解析式，再解直線AP與反比例函數(shù)的解析式組成的方程組，就可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；②若∠ABP=90°，同理即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）過(guò)點(diǎn)B作BS⊥y軸于S，過(guò)點(diǎn)C作CT⊥y軸于T，連接OB，如圖2，易證△CTD∽△BSD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得．由A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10），可得C（﹣a，2a﹣10），CT=a，BS=b，即可得到=，即b=a．由A、B都在反比例函數(shù)的圖象上可得a（﹣2a+10）=b（﹣2b+10），把b=a代入即可求出a的值，從而得到點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，從而得到點(diǎn)D的坐標(biāo)及OD的值，然后運(yùn)用割補(bǔ)法可求出S△COB ， 再由OA=OC可得S△ABC=2S△COB ， 問(wèn)題得以解決．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解確定一次函數(shù)的表達(dá)式(確定一個(gè)一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類(lèi)問(wèn)題的一般方法是待定系數(shù)法)，還要掌握相似三角形的判定與性質(zhì)(相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵．