Question

19．已知關(guān)于x的一元二次方程x²+2（m+1）x+m²-1=0．
（1）若方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若方程兩實(shí)數(shù)根分別為x₁，x₂，且滿足x₁²+x₂²=16，求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)方程有實(shí)根可得△≥0，進(jìn)而可得[2（m+1）]²-4×1×（m²-1）≥0，再解即可；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得x₁+x₂=-2（m+1），x₁•x₂=m²-1，再由完全平方公式可得x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂，代入x₁+x₂=-2（m+1），x₁•x₂=m²-1可計(jì)算出m的值．

解答 解：（1）∵方程有實(shí)數(shù)根，
∴△≥0，
∴[2（m+1）]²-4×1×（m²-1）≥0，
解得：m≥-1；

（2）∵方程兩實(shí)數(shù)根分別為x₁，x₂，
∴x₁+x₂=-2（m+1），x₁•x₂=m²-1，
∵x₁²+x₂²=16，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=16，
4（m+1）²-2（m²-1）=16，
解得：m=-5，m=1，
∵m≥-1，
∴m=1．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，以及根的判別式，關(guān)鍵是掌握方程有實(shí)根則△≥0，x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時(shí)，x₁+x₂=-$\frac{a}$，
x₁x₂=$\frac{c}{a}$．