如圖,已知BC為⊙O的直徑,EC是⊙O的切線,C是切點(diǎn),EP交⊙O于點(diǎn)A,D,交CB延長線于點(diǎn)P.連接CD,CA,AB.
(1)求證:∠ECD=∠EAC;
(2)若PB=OB=2,CD=3,求PA的長.
考點(diǎn):切線的性質(zhì),勾股定理,相似三角形的判定與性質(zhì)
專題:
分析:(1)如圖1,連接OD.利用弦切角定理和圓周角定理可以證得結(jié)論;
(2)如圖2,連接BD,過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F.通過相似三角形△PAB∽△PCD的對應(yīng)邊成比例知
PA
PC
=
PB
PD
.把相關(guān)線段的長度代入可以得到:PA=2
2
解答:(1)證明:如圖1,連接OD.
∵EC是⊙O的切線,CD是⊙O的弦,
∴∠ECD=
1
2
∠COD(弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓心角的度數(shù)的一半).
又∵∠DAC=
1
2
∠COD(在同圓中,同弧所對的圓周角是所對的圓心角的一半),
∴∠ECD=∠DAC,即∠ECD=∠EAC;

(2)解:如圖2,連接BD,過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F.
∵BC是⊙O的直徑,∴∠CDB=90°.
∴在Rt△CDB中,BD=
BC2-CD2
=
7
,DF=
CD•BD
BC
=
3
7
4

在Rt△CDF中,CF=
CD2-DF2
=
9
4

PF=PC-CF=
15
4

在Rt△DFP中,DP=
DF2+PF2
=3
2

∵∠PAB=∠PCD,∠P=∠P,
∴△PAB∽△PCD.
PA
PC
=
PB
PD

PA
6
=
2
3
2

PA=2
2
點(diǎn)評:本題考查了切線的性質(zhì)、勾股定理以及相似三角形的判定與性質(zhì).解題過程中,利用了弦切角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì).注意,圓的知識的綜合運(yùn)用.
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AC
=
BC
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計(jì)算:(
1
4
-1+|-
3
|-(π-3)0+3tan30°.

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1
2
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1-kx
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