Question

（2006•連云港）操作與探究：
（1）圖①是一塊直角三角形紙片．將該三角形紙片按如圖方法折疊，是點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，DE為折痕．試證明△CBE等腰三角形；
（2）再將圖①中的△CBE沿對(duì)稱軸EF折疊（如圖②）．通過(guò)折疊，原三角形恰好折成兩個(gè)重合的矩形，其中一個(gè)是內(nèi)接矩形，另一個(gè)是拼合（指無(wú)縫無(wú)重疊）所成的矩形，我們稱這樣的兩個(gè)矩形為“組合矩形”．你能將圖③中的△ABC折疊成一個(gè)組合矩形嗎？如果能折成，請(qǐng)?jiān)趫D③中畫出折痕；
（3）請(qǐng)你在圖④的方格紙中畫出一個(gè)斜三角形，同時(shí)滿足下列條件：①折成的組合矩形為正方形；②頂點(diǎn)都在格點(diǎn)（各小正方形的頂點(diǎn)）上；
（4）有一些特殊的四邊形，如菱形，通過(guò)折疊也能折成組合矩形（其中的內(nèi)接矩形的四個(gè)頂點(diǎn)分別在原四邊形的四條邊上）．請(qǐng)你進(jìn)一步探究，一個(gè)非特殊的四邊形（指除平行四邊形、梯形外的四邊形）滿足何條件時(shí)，一定能折成組合矩形？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)，那么CE就與BE相等，因此三角形CBE就是個(gè)等腰三角形．
（2）可選兩邊的中點(diǎn)進(jìn)行折疊，如：選AB，AC的中點(diǎn)D，E，沿折痕DE將A折疊刀BC上，然后將B，C兩點(diǎn)與A點(diǎn)重合即可得出矩形．
（3）我們先看三角形內(nèi)接正方形時(shí)各邊的關(guān)系，如圖：DEGH是個(gè)正方形，那么DE=HG=DH，如果我們過(guò)A引BC的垂線，交DE于N交BC于M，那么三角形BHD≌三角形DNA，三角形ANE≌三角形EGC．AN=DH=MN，BH+GC=DN+NE=DE，AN+MN=BH+GC+HG．因此AM=BC，由此可看出只要符合三角形的一邊和這個(gè)邊上的高相等即可通過(guò)折疊得出正方形．
（4）由于四邊形的對(duì)角線都和折痕平行，那么也就是與矩形的邊平行，所以四邊形要想能折出一個(gè)組合矩形，那么它的對(duì)角線就應(yīng)該互相垂直．
解答：解：（1）∵點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，
∴AD=DC，∠ADE=∠EDC=90°，
∴DE∥BC，
∴DE是△ACB的中位線，
AE=BE，
∵AE=CE，
∴CE=BE，
∴△CBE是等腰三角形；

（2）如圖1所示（共有三種折法，折痕畫對(duì)均可）；

（3）如圖2所示（答案不唯一，只要體現(xiàn)出一條邊與該邊上的高相等即可）；

（4）當(dāng)一個(gè)四邊形的兩條對(duì)角線互相垂直時(shí)，可以折成一個(gè)組合矩形．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了動(dòng)手作圖的能力，如果遇到想不出的圖形，可根據(jù)幾何知識(shí)，將圖形中的某些特殊關(guān)系找出來(lái)，然后再動(dòng)手實(shí)踐．