Question

5．如圖，△ABC為⊙O的內(nèi)接三角形，點(diǎn)D在射線CB上，連接AD，AD=AC，OB為⊙O的半徑．
（1）如圖1，若AC經(jīng)過圓心O，求證∠DAC=2∠ABO；
（2）如圖2，若AC不經(jīng)過圓心O，（1）中結(jié)論是否成立，請(qǐng)說明理由；
（3）如圖3，在（2）的條件下，連接OC交AD于點(diǎn)E，延長(zhǎng)CO交AB于點(diǎn)F，若∠BOC=120°，tan∠AFC=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，DE=2，求⊙O的半徑長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由AC是直徑知AB⊥CD，又由于AD=AC，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)可得∠DAC=2∠BAC=2∠ABO；
（2）由AD=AC得∠1=∠C，進(jìn)而知∠2=2∠C=∠1+∠C，又由∠2+∠ABO+∠3=∠1+∠C+∠DAC=180°得∠DAC=∠3+∠ABO=2∠ABO，即∠DAC=2∠ABO；
（3）延長(zhǎng)CO交⊙O于點(diǎn)G連接BG、過點(diǎn)B作BN⊥FG、過點(diǎn)C作CM⊥AB，由tan∠BFN=tan∠AFC=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$知$\frac{BN}{NF}=\frac{5\sqrt{3}}{3}$，可設(shè)BN=5$\sqrt{3}$a、NF=3a，根據(jù)勾股定理可得BF長(zhǎng)，在Rt△BNG中知GN=5a，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)知ON=5a，則半徑OG=10a、GF=8a，進(jìn)而知CF=12a，在Rt△CFM中可得FM=$\frac{6\sqrt{21}}{7}$a、CM=$\frac{30\sqrt{7}}{7}$，在Rt△ACM中可得AC=AD=$\frac{20\sqrt{21}}{7}a$、AM=$\frac{10\sqrt{21}}{7}$a，進(jìn)而得到AF=$\frac{16\sqrt{21}}{7}$a，證∠AFC=∠AEF得AF=AE，根據(jù)AD-AE=DE列出關(guān)于a的方程，解方程可得a值，可得半徑10a的值．

解答 解：（1）∵AC經(jīng)過圓心O，
∴AC是直徑．
∴∠ABC=90°，
∴AB⊥CD，
又∵AD=AC，
∴AB平分∠DAC，
∴∠DAC=2∠BAC，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠ABO，
∴∠DAC=2∠ABO；
（2）結(jié)論依然成立
理由如下：如圖2，連接AO
∵AD=AC，
∴∠1=∠C，
∵∠2和∠C是弧AB所對(duì)的圓心角和圓周角
∴∠2=2∠C=∠1+∠C，
∵OA=OB，
∴∠ABO=∠3，
∵∠2+∠ABO+∠3=∠1+∠C+∠DAC=180°
∴∠DAC=∠3+∠ABO=2∠ABO
即∠DAC=2∠ABO；
（3）如圖3，延長(zhǎng)CO交⊙O于點(diǎn)G連接BG，過點(diǎn)B作BN⊥FG于點(diǎn)N，過點(diǎn)C作CM⊥AB于點(diǎn)M．
∵∠BOC=120°，
∴∠BOG=180°-120°=60°，
又∵OG=OB，
∴△OGB是等邊三角形，
∴∠G=60°，GN=ON，
∵∠AFC=∠BFN，
∴在Rt△BNF中，tan∠BFN=tan∠AFC=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，
即$\frac{BN}{NF}=\frac{5\sqrt{3}}{3}$，
設(shè)BN=5$\sqrt{3}$a，則NF=3a，
∴BF=$\sqrt{B{N}^{2}+N{F}^{2}}$=2$\sqrt{21}$a，
在Rt△BNG中，GN=5a，那么ON=5a，
∴半徑OG=OB=OC=5a+5a=10a，GF=GN+NF=8a，
∴CF=CG-GF=2×10a-8a=12a
在Rt△CFM中，∠CMF=90°，tan∠AFC=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，
∴FM=$\frac{6\sqrt{21}}{7}$a，CM=$\frac{30\sqrt{7}}{7}$a，
∵∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$×120°=60°
在Rt△ACM中，可得AC=AD=$\frac{20\sqrt{21}}{7}a$，AM=$\frac{10\sqrt{21}}{7}$a，
∴AF=AM+FM=$\frac{6\sqrt{21}}{7}$a+$\frac{10\sqrt{21}}{7}$a=$\frac{16\sqrt{21}}{7}$a，
  又∵∠AEF=∠ACE+∠DAC=∠ABG+∠DAC=∠ABG+2∠ABO=∠OBG+∠ABO=60°+∠ABO，
∵∠AFC=∠BOF+∠ABO=60°+∠ABO，
∴∠AFC=∠AEF
∴AF=AE，
∵AD-AE=DE，
∴$\frac{20\sqrt{21}}{7}$a-$\frac{16\sqrt{21}}{7}$a=2，解得：a=$\frac{\sqrt{21}}{6}$，
∴半徑OC=10a=10×$\frac{\sqrt{21}}{6}$=$\frac{5\sqrt{21}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)、等邊三角形判定與性質(zhì)、三角形的內(nèi)角、外角定理、圓周角定理等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，根據(jù)三角函數(shù)構(gòu)建直角三角形為切入點(diǎn)，表示出不同線段長(zhǎng)度逐步轉(zhuǎn)移到圓的半徑上來是關(guān)鍵和難點(diǎn)．