Question

5．如圖，Rt△ACB中，AC=BC，∠ACB=90°，D、E為AB上兩點，且∠DCE=45°，F(xiàn)為△ABC外一點，且FB⊥AB，F(xiàn)C⊥CD，則下列結(jié)論：
①CD=CF；②CE垂直但不平分DF；③AD²+BD²=2DC²；④DE²-BE²=AD²．
其中正確的個數(shù)是（　　）

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠A=∠ABC=45°，證得∠ACD=∠BCF，推出△ACD≌△BCF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到CD=CF，故①正確；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到CE垂直平分DF，故②錯誤；由△DCF是等腰直角三角形，得到DF=$\sqrt{2}$CD，根據(jù)勾股定理即可得到BD²+AD²=2CD²，故③正確；連接EF，根據(jù)CE垂直平分DF，得到DE=EF，根據(jù)勾股定理和等量代換即可得到DE²-BE²=AD²，故④正確．

解答 解：∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠A=∠ABC=45°，
∵BF⊥AB，
∴∠CBF=45°，∵DC⊥CF，
∴∠ACD+∠DCB=∠BCF+∠DCB=90°，
∴∠ACD=∠BCF，
在△ACD與△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠CBF=45°}\\{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCF}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCF，
∴CD=CF，故①正確；
∵∠DCE=45°，
∴∠ECF=45°，
∴∠DCE=∠ECF，
∴CE垂直平分DF，故②錯誤；
∵△DCF是等腰直角三角形，
∴DF=$\sqrt{2}$CD，
∵△ACD≌△BCF，
∴BF=AD，
在Rt△BDF中，BD²+BF²=DF²，
∴BD²+AD²=2CD²，故③正確；
連接EF，
∵CE垂直平分DF，
∴DE=EF，
在Rt△BEF中，∵EF²-BE²=BF²，
∴DE²-BE²=AD²，故④正確；

點評 本題考查了勾股定理、全等三角形的判定定理以及等腰直角直角三角形的性質(zhì)，此題涉及的知識面比較廣，解題時要注意仔細(xì)分析，難度較大．