【題目】如圖,在△ABC中,BE是它的角平分線,∠C=90°,D在AB邊上,以DB為直徑的半圓O經(jīng)過點E,交BC于點F.
(1)求證:AC是⊙O的切線;
(2)已知cosA= ,⊙O的半徑為3,求圖中陰影部分的面積.

【答案】
(1)解:連接OE,

∴BE是∠OBC的角平分線,

∴∠OBE=∠CBE,

∵OE=OB,

∴∠OEB=∠OBE,

∴∠OEB=∠CBE,

∴OE∥BC,

∴∠AEO=∠C=90°,

∵OE是⊙O的半徑,

∴AC是⊙O的切線;


(2)解:連接OF,

∵cosA= ,

∴∠A=30°,

∴∠ABC=∠AOE=60°

∵OB=OF=3,

∴∠FOB=∠ABC=60°,

∴∠EOF=60°,

∴扇形OEF的面積為: =

∵OE=3,∠BAC=30°,

∴AO=2OE=6,

∴AB=AO+OB=9,

∴BC= AB=

∴由勾股定理可知:AE=3 ,AC= ,

∴CE=AC﹣AE=

∵BF=OB=3,

∴CF=BC﹣BF=

∴梯形OFCE的面積為: =

∴陰影部分面積為:


【解析】(1)連接,根據(jù)BE平分∠OBC,OE=OB,可得出OE∥BC,從而可知∠AEO=∠C=90°,根據(jù)切線的判定,即可得出AC是⊙O的切線;(2)連接OF,根據(jù)條件分別求出OE、CF、CE,∠EOF的數(shù)值后,根據(jù)面積公式分別計算梯形OFCE與扇形EOF的面積,從而可求出陰影部分的面積.

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160

排球

100

120


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