Question

觀察下列各式
（x-1）（x+1）=x²-1
（x-1）（x²+x+1）=x³-1
（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1
…
（1）分解因式：x⁵-1=______；
（2）根據(jù)規(guī)律可得（x-1）（x^n-1+…+x+1）=______（其中n為正整數(shù)）；
（3）計算：（3-1）（3⁵⁰+3⁴⁹+3⁴⁸+…+3²+3+1）；
（4）計算：（-2）¹⁹⁹⁹+（-2）¹⁹⁹⁸+（-2）¹⁹⁹⁷+…+（-2）³+（-2）²+（-2）+1．

Answer 1

解：（1）分解因式：x⁵-1=（x-1）（x⁴+x³+x²+x+1）；

（2）（x-1）（x^n-1+…+x+1）=xⁿ-1；

（3）（3-1）（3⁵⁰+3⁴⁹+3⁴⁸+…+3²+3+1）=3⁵¹-1．

（4）∵（-2-1）[（-2）¹⁹⁹⁹+（-2）¹⁹⁹⁸+（-2）¹⁹⁹⁷+…+（-2）³+（-2）²+（-2）+1]，
=（-2）²⁰⁰⁰-1，
=2²⁰⁰⁰-1，
∴（-2）¹⁹⁹⁹+（-2）¹⁹⁹⁸+（-2）¹⁹⁹⁷+…+（-2）³+（-2）²+（-2）+1=．
分析：（1）根據(jù)所給出的具有規(guī)律的式子，可知x⁵-1=（x-1）（x⁴+x³+x²+x+1）．
（2）觀察所給式子的特點，等號右邊x的指數(shù)比等號左邊x的最高指數(shù)大1，然后寫出即可；
（3）根據(jù)所給式子的規(guī)律，把x換為3即可，（3-1）（3⁵⁰+3⁴⁹+3⁴⁸+…+3²+3+1）=3⁵¹-1．
（4）先計算（-2-1）[（-2）¹⁹⁹⁹+（-2）¹⁹⁹⁸+（-2）¹⁹⁹⁷+…+（-2）³+（-2）²+（-2）+1]=（-2）²⁰⁰⁰-1，然后再計算所給式子．
點評：本題考查了平方差公式的推廣，要讀懂題目信息并總結(jié)出規(guī)律，具有規(guī)律性是特殊式子的因式分解，解題的關(guān)鍵是找出所給范例展示的規(guī)律．