Question

10．如圖，二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，且A點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0），經(jīng)過(guò)B點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)D（-2，-3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）過(guò)x軸上點(diǎn)E（a，0）（E點(diǎn)在B點(diǎn)的右側(cè)）作直線EF∥BD，交拋物線于點(diǎn)F，求直線BD和直線EF的解析式；
（3）是否存在實(shí)數(shù)a使四邊形BDFE是平行四邊形？如果存在，求出滿足條件的a；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）將A、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式求出b、c即可；
（2）先求出B點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)B、D兩點(diǎn)坐標(biāo)求出BD解析式，進(jìn)而求出EF解析式；
（3）由于EF已經(jīng)與BD平行了，只需讓DF∥BE就可以了，此時(shí)，F(xiàn)點(diǎn)的縱坐標(biāo)與D點(diǎn)相同，從而可求出F點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出E點(diǎn)坐標(biāo)，即求出a的值．

解答 解：（1）將A、D兩點(diǎn)代入y=x²+bx+c可求得：b=2，c=-3，
∴拋物線解析式為y=x²+2x-3 
（2）由拋物線解析式y(tǒng)=x²+2x-3可求B的坐標(biāo)是（1，0），
由B、D兩點(diǎn)坐標(biāo)求得直線BD的解析式為y=x-1；
∵EF∥BD，
∴直線EF的解析式為：y=x-a 
（3）若四邊形BDFE是平行四邊形，則DF∥x軸，如圖，

∴D、F兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，即點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為-3．
∴F點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-3），
∴DF=2，
∴BE=DF=2，
∴E（3，0），
即：a=3．
所以存在實(shí)數(shù)a=3，使四邊形BDFE是平行四邊形．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、待定系數(shù)法求直線解析式、平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，雖有一定綜合性，但難度不大，屬于較基礎(chǔ)的題．