Question

如圖，定義：若雙曲線y=

k

x

（k＞0）與它的其中一條對稱軸y=x相交于A、B兩點，則線段AB的長度為雙曲線y=

k

x

（k＞0）的對徑，已知雙曲線y=

1

x

與直線y=x位置如圖所示：觀察圖示并回答問題：
（1）直接寫出A、B兩點的坐標；
（2）求雙曲線y=

1

x

的對徑；
（3）若雙曲線y=

k

x

（k＞0）的對徑是10

2

，求k的值．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題

專題：新定義

分析：恩舉反比例函數(shù)的他一一，可得答案．（1）根據(jù)解兩函數(shù)解析式組成的方程組，可得答案；
（2）根據(jù)勾股定理，可得OA的長，根據(jù)A、B關(guān)于原點對稱，可得答案；
（3）根據(jù)雙曲線的對徑，可得OA的長，根據(jù)解直角三角形，可得點A的坐標，

解答：解：（1）A（1，1）B．（-1，-1）C
（2）直線y=x位置如圖作AC⊥x軸
所以△OCA是等腰直角三角形，
即：OC=AC=1
OA=

OC2+AC2

=

2

AB=2OA=2

2

；
（3）∵雙曲線的對徑為10

2

，即AB=10

2

，OA=5

2

，
∴OA=

2

OC=

2

AC，
∴OC=AC=5，
∴點A坐標為（5，5），
把A（5，5）代入雙曲線y=

k

x

（k＞0），
得k=5×5=25，
即k的值為25；

點評：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點問題，解方程組得出交點的坐標，雙曲線的對徑關(guān)于原點對稱．