Question

在學(xué)習(xí)了投影知識(shí)后，小明同學(xué)想能否利用投影的知識(shí)來(lái)測(cè)量斜坡的坡角呢？經(jīng)過(guò)思考小明和他的小組成員采用了以下測(cè)量步驟：
（1）如圖，在平地和斜坡上各直立一根等長(zhǎng)的標(biāo)桿AB、DE（均與地面垂直），AB在平地上的影長(zhǎng)為BC，
（2）在同一時(shí)刻分別測(cè)量平地上標(biāo)桿AB的影長(zhǎng)BC，斜坡上標(biāo)桿DE的影長(zhǎng)EF，
問(wèn)題：
（1）請(qǐng)畫(huà)出在同一時(shí)刻標(biāo)桿DE在山坡上的影長(zhǎng)EF（不需尺規(guī)作圖，只要作出適當(dāng)?shù)臉?biāo)記）
（2）若標(biāo)桿AB、DE的長(zhǎng)均為2米，測(cè)得AB的影長(zhǎng)BC為1米，DE的影長(zhǎng)EF為2米，求斜坡的坡角α（精確到1°）

Answer 1

解：（1）如圖：
①連接AC，
②過(guò)點(diǎn)D作DF∥AC，
則EF即為所求影長(zhǎng)；

（2）過(guò)點(diǎn)E作EM∥BC交DF于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥EF于點(diǎn)N，
根據(jù)題意得：EM=BC=1，DE=EF=2，
∴∠D=∠EFM，∠MEF=α，
∵在Rt△DEN中，tan∠D==，
∴在Rt△FMN中，tan∠MFN==，
設(shè)MN=x，則FN=2x，
∴EN=EF-FN=2-2x，
在Rt△EMN中，EM²=EN²+MN²，
即1²=（2-2x）²+x²，
解得：x₁=，x₂=1（舍去），
∴MN=，
∴sinα==，
∴α≈37°．
答：斜坡的坡角α為：37°．
分析：（1）首先連接AC，然后點(diǎn)D作DF∥AC，則可知EF即為所求影長(zhǎng)；
（2）首先過(guò)點(diǎn)E作EM∥BC交DF于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥EF于點(diǎn)N，根據(jù)題意易得△DEF是等腰三角形，然后由三角函數(shù)的定義，可得MN：FN=EM：DE=1：2，則可設(shè)MN=x，由勾股定理，可得方程：1²=（2-2x）²+x²，繼而可求得sinα==，則可求得答案．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了坡度坡角問(wèn)題，考查了等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、平行線(xiàn)的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的定義．此題難度較大，注意掌握方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．