Question

如圖，直線l₁∥l₂∥l₃，l₁與l₂之間的距離為1，l₂與l₃之間的距離為2，點(diǎn)P在l₁上，點(diǎn)A在l₂上，點(diǎn)C在l₃上，PC交l₂于點(diǎn)B，PA⊥PC．
（1）當(dāng)PA=3時(shí)，求PC的長(zhǎng)；
（2）在∠APC繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，△ABC是否可能是等腰三角形？如果可能，請(qǐng)求出PC的長(zhǎng)；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的判定,勾股定理

專題：

分析：（1）過(guò)P作PD⊥L₃，交L₂于E，交L₃于D．利用條件可得△PAE∽△BPE和△PEB∽△PDC，代入可求出PC的長(zhǎng)度；
（2）由等腰三角形，可得△ABP≌BCF，再利用三角函數(shù)的定義可求出PC的長(zhǎng)．

解答：解：
（1）過(guò)P作PD⊥L₃，交L₂于E，交L₃于D．

則AE²═PA²-PE²═3²-1²═8，AE═2

2

，
∵△PAE∽△BPE，
∴

PA

PB

=

AE

PE

，
∴

3

PB

=

2 2

1

，
∴PB=

3 2

4

，
又∵△PEB∽△PDC，
∴

PE

PD

=

PB

PC

，
∴

1

3

=

3 2 4

PC

，
∴PC═

9 2

4

；
（2）可能．

當(dāng)△ABC為等腰三角形時(shí)，因?yàn)椤螦BC為鈍角，所以只能有AB═BC．過(guò)B作BF⊥L3于F，則△ABP≌BCF，
∴PA═BF═2  
∴△ABP的斜邊的高為1，則∠PAB═30°，
∴∠FBC═60°，
∴Sin60°=

3

PC

，
∴PC═

3

sin60°

=

3

3 2

=2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線構(gòu)造三角形相似．