Question

19．如圖，已知拋物線E₁：y=x²經(jīng)過點(diǎn)A（1，m），以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的拋物線E₂經(jīng)過點(diǎn)B（2，2），點(diǎn)A、B關(guān)于y 軸的對稱點(diǎn)分別為點(diǎn)A′，B′．
（1）求m的值；
（2）求拋物線E₂所表示的二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）在第一象限內(nèi)，拋物線E₁上是否存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)Q、B、B′為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）將A（1，m）代入y=x²，求得m的值即可；
（2）設(shè)拋物線E₂的函數(shù)表達(dá)式為y=ax²（a≠0），將點(diǎn)B（2，2）代入拋物線的解析式求得a的值即可；
（3）當(dāng)∠BB′Q=90°時(shí)，將x=2代入y=x²，可求得點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)，當(dāng)∠BQB′=90°時(shí)，設(shè)點(diǎn)Q₂的坐標(biāo)為（t，t²），依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式和勾股定理的逆定理列出關(guān)于t的方程求解即可．

解答 解：（1）∵拋物線E₁經(jīng)過點(diǎn)A（1，m）
∴m=1²=1
（2）∵拋物線E₂的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，可設(shè)它對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=ax²（a≠0）
又∵點(diǎn)B（2，2）在拋物線E₂上
∴2=a×2²，解得：a=$\frac{1}{2}$
∴拋物線E₂所對應(yīng)的二次函數(shù)表達(dá)式為y=$\frac{1}{2}$x²
（3）如圖所示：

①當(dāng)點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)時(shí)，過B作Q₁B⊥BB′交拋物線E₁于Q，則點(diǎn)Q₁與B的橫坐標(biāo)相等且為2，將x=2代入y=x²得y=4，
∴點(diǎn)Q₁的坐標(biāo)為（2，4）．
②當(dāng)點(diǎn)Q₂為直角頂點(diǎn)時(shí)，則有Q₂B′²+Q₂B²=B′B²，過點(diǎn)Q₂作GQ₂⊥BB′于G，設(shè)點(diǎn)Q₂的坐標(biāo)為（t，t²）（t＞0），則有（t+2）²+（t²-2）²+（2-t）²+（t²-2）²=4，
整理得：t⁴-3t²=0，
∵t＞0，
∴t²-3=0，解得t₁=$\sqrt{3}$，t₂=-$\sqrt{3}$（舍去），
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（$\sqrt{3}$，3），
綜上所述，存在符合條件的點(diǎn)Q坐標(biāo)為（2，4）與（$\sqrt{3}$，3）．

點(diǎn)評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)與函數(shù)解析式的關(guān)系、待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、勾股定理的逆定理的應(yīng)用、兩點(diǎn)間的距離公式，依據(jù)勾股定理的逆定理和兩點(diǎn)間的距離公式列出關(guān)于t的方程是解題的關(guān)鍵．