Question

5．已知一次函數(shù)y=x+2的圖象分別交x軸，y軸于A、B兩點，⊙O₁過以OB為邊長的正方形OBCD的四個頂點，兩動點P、Q同時從點A出發(fā)在四邊形ABCD上運動，其中動點P以每秒$\sqrt{2}$個單位長度的速度沿A→B→A運動后停止；動點Q以每秒2個單位長度的速度沿A→O→D→C→B運動，AO₁交y軸于E點，P、Q運動的時間為t（秒）．
（1）求E點的坐標和S_△ABE的值；
（2）試探究點P、Q從開始運動到停止，直線PQ與⊙O₁有哪幾種位置關系，并求出對應的運動時間t的范圍．

Answer 1

分析 （1）依題意容易知道O₁的坐標，根據(jù)待定系數(shù)法可以確定直線AE的解析式，然后求出E的坐標，最后求出S_△ABE；
（2）容易知道當Q運動到O點時PQ與圓相切，此時t=1，所以可以確定其他位置的t的值．

解答 解：（1）由題意知，A（-2，0），B（0，2），
∴OB=OD=2，
∴O₁（1，1），
設AO₁的直線的解析式為y=kx+b，則有0=-2k+b，1=k+b，
解得：b=$\frac{2}{3}$，k=$\frac{1}{3}$，∴y=$\frac{1}{3}$x+$\frac{2}{3}$，
∴E（0，$\frac{2}{3}$），
∴BE=$\frac{4}{3}$，
∴S_△ABE=$\frac{1}{2}$OA•BE=$\frac{4}{3}$；

（2）直線PQ與⊙O₁有三種位置關系，分別是相離，相切，相交；
∵動點P沿A→B→A運動后停止；動點Q沿A→O→D→C→B運動，
∴根據(jù)切線的定義，如果PQ與⊙O₁相切，切點只能是O、D、C、B中的一個．
分兩種情況：
①當點P從A點移到B點時，由于OA=OB=2，∴AB=2$\sqrt{2}$，
∴t=2$\sqrt{2}$$÷\sqrt{2}$=2，
當t=2時，點Q從A點運動到D點，當?shù)竭_D點時，點P在B點處，顯然不合題意，舍去，
當點Q在O點時，如圖①，此時t=2÷2=1，
連結O₁Q、PQ，
∴PA=$\sqrt{2}$=$\frac{1}{2}$AB，
∵QA=QB，
∴∠PQB=$\frac{1}{2}∠$AQB=45°，
∵O₁是正方形ODCB的中心，
∴∠O₁QB=45°，
∴∠PQO₁=90°，
∴PQ為⊙O₁的切線，此時t=1；
②當點P從B點移到A點時，點Q從D點經(jīng)過C點到達B點，
顯然，當點Q在點C處時，PQ與⊙O₁相交，
當點Q運動到B點時，點P回到了點A，如圖②，
同理可證此時PQ與⊙O₁相切，易得t=4
綜上，當t=1或t=4時，PQ與⊙O₁相切；
故由題意可知：當PQ與⊙O₁相離，0＜t＜1；
當PQ與⊙O₁相切時，t=1或t=4；
當PQ與⊙O₁相交時，1＜t＜4．

點評 本題考查了圓的綜合題：圓上的點到圓心的距離都等于圓的半徑；待定系數(shù)法是求函數(shù)解析式常用的方法；熟練掌握正方形和等腰直角三角形的性質以及坐標軸上點的坐標特點．