Question

6．如圖，AD是△ABC的中線，AE∥BC，BE交AD于點F，且AF=DF．
（1）求證：四邊形ADCE是平行四邊形；
（2）當AB、AC之間滿足AB=AC時，四邊形ADCE是矩形；
（3）當AB、AC之間滿足AB=AC，AB⊥AC時，四邊形ADCE是正方形．

Answer 1

分析 （1）首先證明△AFE≌△DFB可得AE=BD，進而可證明AE=CD，再由AE∥BC可利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可得四邊形ADCE是平行四邊形；
（2）當AB=AC時，根據(jù)等腰三角形三線合一可得AD⊥BC，再根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形可得結論；
（3）當AB=AC，AB⊥AC時，△ABC是等腰直角三角形，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得AD=CD，根據(jù)等腰三角形的性質可得AD⊥BC，從而可得證明四邊形ADCE是正方形．

解答 （1）證明：∵AD是△ABC的中線，
∴BD=CD，
∵AE∥BC，
∴∠AEF=∠DBF，
在△AFE和△DFB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEF=∠DBF}\\{∠AFE=∠BFD}\\{AF=DF}\end{array}\right.$，
∴△AFE≌△DFB（AAS），
∴AE=BD，
∴AE=CD，
∵AE∥BC，
∴四邊形ADCE是平行四邊形；

（2）當AB=AC時，四邊形ADCE是矩形；
∵AB=AC，AD是△ABC的中線，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵四邊形ADCE是平行四邊形，
∴四邊形ADCE是矩形，
故答案為：AB=AC；

（3）當AB⊥AC，AB=AC時，四邊形ADCE是正方形，
∵AB⊥AC，AB=AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵AD是△ABC的中線，
∴AD=CD，AD⊥BC，
又∵四邊形ADCE是平行四邊形，
∴四邊形ADCE是正方形，
故答案為：AB⊥AC，AB=AC．

點評 此題主要考查了矩形、正方形、平行四邊形的判定，關鍵是掌握一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，有一個角是直角的平行四邊形是矩形，鄰邊相等的矩形是正方形．