Question

作圖探究：如圖，點(diǎn)P是直角坐標(biāo)系xOy第三象限內(nèi)一點(diǎn)．
（1）尺規(guī)作圖：請(qǐng)?jiān)趫D中作出經(jīng)過(guò)O、P兩點(diǎn)且圓心在x軸的⊙M；（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）
（2）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-4，-2）．
①請(qǐng)求出⊙M的半徑；
②填空：若Q是⊙M上的點(diǎn)，且∠PMQ=90°，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為_(kāi)_____．

Answer 1

解：（1）⊙M如圖所示；

（2）①連接PM，作PH⊥x軸，垂足為H，設(shè)⊙O的半徑為r，則PM=MO=r，MH=4-r，PH=2，
在Rt△PHM中，PH²+MH²=PM²，
即2²+（4-r）²=r²，
解得r=；
②如圖，過(guò)M點(diǎn)作PM的垂線，交⊙M于Q₁，Q₂，再過(guò)Q₁，Q₂，作x軸的垂線，垂足為N₁，N₂，
利用互余關(guān)系，PM=Q₁M=Q₂M，
可證Rt△PMH≌Rt△Q₁MN₁≌Rt△Q₂MN₂，
∴PH=MN₁=MN₂=2，MH=Q₁N₁=Q₂N₂=4-r=，
∴Q（-，）或（-，-）．
故答案為：（-，）或（-，-）．
分析：（1）連接OP，作OP的垂直平分線交x軸于M點(diǎn)，以MO我半徑作⊙M，即為所求；
（2）①連接PM，作PH⊥x軸，垂足為H，設(shè)⊙O的半徑為r，則PM=MO=r，MH=4-r，PH=2，在Rt△PHM中，由勾股定理求r即可；
②過(guò)M點(diǎn)作PM的垂線，交⊙M于Q₁，Q₂，再過(guò)Q₁，Q₂，作x軸的垂線，利用三角形全等求Q點(diǎn)坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了垂徑定理，勾股定理，尺規(guī)作圖的知識(shí)．關(guān)鍵是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化到直角三角形中，利用勾股定理，全等三角形解題．