Question

如圖：在△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，O為BC的中點，M，N分別在AB，AC上，且AN=BM．
①判斷△OMN的形狀，并證明你的結(jié)論；
②判斷四邊形AMON的面積有變化嗎？為什么？
③設(shè)AN=x，AC=2，△OMN的面積為y，求y關(guān)于x的關(guān)系式，并求當(dāng)x為何值時，y的值最大．

Answer 1

【答案】分析：①先從直觀上猜想，再從理論上尋找依據(jù)．從O為BC的中點想到直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，所以連OA，利用等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合AN=BM，易證△AON≌△BOM，判斷△OMN的形狀；
②根據(jù)△AON≌△BOM，易證四邊形AMON的面積=△AOB的面積=S_△ABC，所以不變；
③S_△OMN=S_{四邊形AMON}-S_△AMN=S_△ABC-AN•AM，據(jù)此得函數(shù)表達(dá)式求解．
解答：解：
①等腰直角三角形．（1分）
連接AO，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，O為BC的中點，
∴AO⊥BC，AO=OB，∠NAO=45°，
又∵∠B=45°，AN=BM，
∴△AON≌△BOM，
∴ON=OM，∠AON=∠BOM．
∵∠BOM+∠AOM=90°，
∴∠AON+∠AOM=90°，即∠MON=90°，
所以△MON是等腰直角三角形；

②不變．（1分）
∵△AON≌△BOM
∴S_{四邊形AMON}=S_△AOB=S_△ABC，所以不變；（2分）

③y=S_△OMN=S_{四邊形AMON}-S_△AMN=S_△ABC-AN•AM
=-x（-x）=2-x（2-x）=-x²-x+2（0＜x＜2）（3分）
∵-＜0，
∴函數(shù)有最大值，當(dāng)x=-=時，屬于0＜x＜2，y最大==1．（1分）
點評：直角三角形中連接直角頂點和斜邊中點構(gòu)成斜邊上的中線是常作的輔助線．