Question

如圖所示，已知A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（28，0）和（0，28）．動點(diǎn)P從A點(diǎn)開始在線段AO上以每秒3個單位的速度向原點(diǎn)O運(yùn)動，動直線EF從x軸開始每秒1個單位的速度向上平行移動（即EF∥x軸），并且分別與y軸，線段AB交于E，F(xiàn)點(diǎn)，連接FP，設(shè)動點(diǎn)P與動直線EF同時出發(fā)，運(yùn)動時間為t秒．
（1）當(dāng)t=1秒時，求梯形OPFE的面積，當(dāng)t為何值時，梯形OPFE的面積最大，最大面積是多少？
（2）當(dāng)梯形OPFE的面積等于三角形APF的面積時，求線段PF的長；
（3）設(shè)t的值分別取t₁，t₂時（t₁≠t₂），所對應(yīng)的三角形分別為△AF₁P₁和△AF₂P₂．試判斷這兩個三角形是否相似，請證明你的判斷．

Answer 1

（1）S_梯形OPFE=

1

2

（OP+EF）•OE=

1

2

（25+27）×1=26．
設(shè)運(yùn)動時間為t秒時，梯形OPFE的面積為y，
則y=

1

2

（28-3t+28-t）t=-2t²+28t=-2（t-7）²+98，
所以當(dāng)t=7秒時，梯形OPFE的面積最大，最大面積為98；

（2）當(dāng)S_梯形OPFE=S_△APF時，
-2t²+28t=

3t2

2

，解得t₁=8，t₂=0（舍去）．
當(dāng)t=8秒時，F(xiàn)P=8

5

；

（3）由

AP1

AP2

≡

AF1

AF2

≡

t1

t2

，
且∠OAB=∠OAB，
可證得△AF₁P₁∽△AF₂P₂．