Question

如圖1，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)．作正方形DEFG，使點(diǎn)A、C分別在DG和DE上，連接AE，BG．
（1）試猜想線段BG和AE的數(shù)量關(guān)系是

 

；
（2）將正方形DEFG繞點(diǎn)D逆時針方向旋轉(zhuǎn)α（0°＜α≤360°），
①判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請利用圖2證明你的結(jié)論；
②若BC=DE=4，當(dāng)AE取最大值時，求AF的值．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,等腰直角三角形,正方形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)及正方形的性質(zhì)就可以得出△ADE≌△BDG就可以得出結(jié)論；
（2）①如圖2，連接AD，由等腰直角三角形的性質(zhì)及正方形的性質(zhì)就可以得出△ADE≌△BDG就可以得出結(jié)論；
②由①可知BG=AE，當(dāng)BG取得最大值時，AE取得最大值，由勾股定理就可以得出結(jié)論．

解答：解：（1）BG=AE．
理由：如圖1，∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∴∠ADB=∠ADC=90°．
∵四邊形DEFG是正方形，
∴DE=DG．
在△ADE和△BDG中，

DC=DB ∠ADC=∠ADB DE=DG

，
∴△ADE≌△BDG（SAS），
∴BG=AE．
故答案為：BG=AE；
（2）①成立BG=AE．
理由：如圖2，連接AD，
∵在Rt△BAC中，D為斜邊BC中點(diǎn)，
∴AD=BD，AD⊥BC，
∴∠ADG+∠GDB=90°．         
∵四邊形EFGD為正方形，
∴DE=DG，且∠GDE=90°，
∴∠ADG+∠ADE=90°，
∴∠BDG=∠ADE．
在△BDG和△ADE中，

BD=AD ∠BDG=∠ADE GD=ED

，
∴△BDG≌△ADE（SAS），
∴DG=AE；                           
②∵BG=AE，
∴當(dāng)BG取得最大值時，AE取得最大值．
如圖3，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為270°時，BG=AE．
∵BC=DE=4，
∴BG=2+4=6．
∴AE=6．
在Rt△AEF中，由勾股定理，得
AF=

AE2+EF2

=

36+16

，
∴AF=2

13

．

點(diǎn)評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的運(yùn)用，等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，解答時證明三角形全等是關(guān)鍵．