Question

如圖，AC是⊙O的直徑，PA切⊙O于點(diǎn)A，點(diǎn)B是⊙O上的一點(diǎn)，且∠BAC=30°，∠APB=60°．
（1）求證：PB是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為2，求弦AB及PA，PB的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OB，證PB⊥OB．根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360°，結(jié)合已知條件可得∠OBP=90°得證．
（2）連接OP，根據(jù)切線長(zhǎng)定理得直角三角形，運(yùn)用三角函數(shù)求解．
解答：（1）證明：連接OB．
∵OA=OB，
∴∠OBA=∠BAC=30°．                （1分）
∴∠AOB=180°-30°-30°=120°．              （2分）
∵PA切⊙O于點(diǎn)A，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP=90°．
∵四邊形的內(nèi)角和為360°，
∴∠OBP=360°-90°-60°-120°=90°．         （3分）
∴OB⊥PB．
又∵點(diǎn)B是⊙O上的一點(diǎn)，
∴PB是⊙O的切線．                            （4分）

（2）解：連接OP；
∵PA、PB是⊙O的切線，
∴PA=PB，∠OPA=∠OPB=∠APB=30°．           （5分）
在Rt△OAP中，∠OAP=90°，∠OPA=30°，
∴OP=2OA=2×2=4，（6分）
∴PA=．        （7分）
∵PA=PB，∠APB=60°，
∴PA=PB=AB=2．                             （8分）
（此題解法多樣，請(qǐng)?jiān)u卷老師按解題步驟給分）
點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的判定、切線長(zhǎng)定理、三角函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)．要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．