Question

已知正方形ABCD的邊長為2，點E、F均在直線BD上，且∠EAF=135°，EB：DF=1：2．
（1）求CF；
（2）在直線BD上是否存在點P，使A、E、P三點圍成的三角形是直角三角形？若存在求出EP的長，不存在請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵正方形ABCD，
∴AD=DC，∠ADB=∠CDB=45°，即∠ADF=∠CDF=135°，
在△ADF和△CDF中，

∴△ADF≌△CDF（SAS），
∴AF=CF，
又∠EAF=∠EAB+∠BAD+∠DAF=135°，且∠BAD=90°，
∴∠EAB+∠DAF=45°，而∠ABD=∠EAB+∠AEB=45°，
∴∠DAF=∠AEB，∠ABE=∠ADF=135°，
∴△AEB∽△FAD，
設(shè)EB=x，則DF=2x，AB=AD=2，
∴，解得x=，則DF=2，
連接AC交BD與O，由正方形ABCD，得到AC⊥BD，O為BD中點，
∴OD=OA=，則OF=OD+DF=3，
在直角三角形OAF中，根據(jù)勾股定理得：
AF²=AO²+OF²=2+18=20，解得AF=2，則CF=2；

（2）存在．
當(dāng)P與（1）中的正方形中心O重合時，△AEP為直角三角形，
由（1）得到OB=BE=，∴EP=2；
過A作AP⊥AE，與BD交于點P，此時△AEP為直角三角形，
根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示：

由題意可知：∠PAE=∠AOE=90°，∠AOE=∠PEA，
∴△AEO∽△PEA，∴AE²=EO•EP，
AE==，EO=2，
則EP==．
EP的長為2或．
分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，得到對應(yīng)邊相等且對角線平分正方形的內(nèi)角，進(jìn)而由“SAS”得到△ADF≌△CDF，得到AF=CF，然后根據(jù)等量代換得到∠DAF=∠AEB，由等角的補(bǔ)角相等得到∠ABE=∠ADF=135°，進(jìn)而得到△AEB∽△FAD，得到一個比例式，設(shè)EB=x，則DF=2x，且正方形邊長為2，代入比例式中求出x的值，確定出DF的長，連接AC，由正方形的性質(zhì)可知AC⊥BD，O為BD中點，求出OA以及OF的長，利用勾股定理即可求出AF的長，即CF的長；
（2）存在．有兩解：第一，當(dāng)P與O重合時，EO即為EP的長，根據(jù)（1）求出的EB和OB的長求出EP即可；第二，當(dāng)AP⊥AE，與BD交于點P，此時△AEP為直角三角形，根據(jù)題意畫出圖形，由兩對角相等的兩三角形相似得到△AEO∽△PEA，由相似三角形對應(yīng)邊成比例列出比例式，由AE和EO的長即可求出PE．
點評：此題綜合考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．學(xué)生在作第二問時注意結(jié)合圖形，由相似得比例，進(jìn)而找出已知與未知的關(guān)系，鍛煉了學(xué)生分析問題，解決問題的能力．