Question

如圖，四邊形ABCD中，AB⊥BC，CD⊥BC，E為BC上一點，且AB=CE，CD=BE．
（1）求證：∠AED=90°；
（2）若EN平分∠AED交AD于N，試判斷△BCN的形狀并證明；
（3）在（2）問的條件下，猜想：△MBC與四邊形ABCD的面積有何數(shù)量關系？并說明理由．

Answer 1

（1）證明：∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴∠ABE=∠ECD=90°，
∵在△ABE和△ECD中，
，
∴△ABE≌△ECD（SAS），
∴∠AEB=∠EDC，
∵∠EDC+∠DEC=90°，
∴∠AEB+∠DEC=90°，
∴∠AED=90°；

（2）解：△BCN為等腰直角三角形，
證明：∵△ABE≌△ECD，
∴AE=DE，∠BAE=∠DEC，
∵∠AED=90°，
∴△AED為等腰直角三角形，
∵EN平分∠AED，
∴∠NED=∠NAE=45°，EN⊥AD，
∴∠BAN=∠CEN，AN=EN，
∵在△BAN和△CEN中，
，
∴△BAN≌△CEN（SAS），
∴NB=NC，∠ANB=∠ENC，
∵∠ANB+∠BNE=90°，
∴∠ENC+∠BME=90°，
∴△BNC為等腰直角三角形；

（3）解：2S_△BNC=S_梯形ABCD．理由如下：
作NM⊥BC，
∵△AED為等腰直角三角形，EN平分∠AED，
∴N點為AD的中點，
∵AB⊥BC，CD⊥BC，NM⊥BC，
∴AB∥CD∥MN，
∴M點為BC的中點，
∴MN為梯形ABCD的中位線，NE⊥BC，
∴S_△BNC=BC•NE•，
S_梯形ABCD=BC•NE，
∴2S_△BNC=S_梯形ABCD．
分析：（1）通過證明△ABE≌△ECD，推出∠AEB=∠EDC，再由∠EDC+∠DEC=90°，等量代換可得∠AEB+∠DEC=90°，根據補角的性質即可推出結論，
（2）由（1）的結論，可得AE=DE，∠BAE=∠DEC，推出△AED為等腰直角三角形，再由EN平分∠AED，推出∠BAN=∠CEN，AN=EN，通過求證△BAN≌△CEN，可得NB=NC，∠ANB=∠ENC，然后根據∠ANB+∠BNE=90°，等量代換后求得∠ENC+∠BME=90°，推出△BNC為等腰直角三角形；
（3）作NM⊥BC，根據（2）所推出的結論即可推出MN 為梯形ABCD的中位線，為△BNC斜邊上的高，然后根據等腰直角三角形和梯形的面積公式，即可推出它們面積之間的等量關系．
點評：本題主要考查等腰直角三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質，角平分線的性質、平行線的性質、梯形的面積公式、等腰直角三角形的面積公式，關鍵在于熟練地運用相關的性質定理推出相等的角和邊，推出三角形全等，正確的運用相關的公式．