Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AD和BE是⊙O的兩條切線，A，B為切點(diǎn)，過圓上一點(diǎn)C作⊙O切線CF，分別交AD，BE于點(diǎn)M、N，連接AC，CB，OM，ON．若AB＝2，∠ABC＝30°.給出以下結(jié)論：①△NBC是等邊三角形；②△MON∽△ACB；③AM＝，BN＝；④△AMC的面積與△BNC的面積之比為1：9．其中正確的結(jié)論有： （把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上）．

Answer 1

①②③④

【解析】

試題分析：因?yàn)镋F和BE是⊙O的兩條切線，所以NB=NC, ∠ABN＝90°，又∠ABC＝30°，所以∠NBC＝60°，所以△NBC是等邊三角形，故①正確；因?yàn)镋F和BE是⊙O的兩條切線，所以∠BNO＝∠ONC=∠ABC＝30°,又可證∠ACB＝∠MON＝90°，所以△MON∽△ACB，故②正確；根據(jù)條件可知在Rt△AOM和Rt△NBO中，∠AOM=∠BNO＝30°,OA=OB=1，所以AM＝，BN＝,故③正確；過點(diǎn)C作CHAM于點(diǎn)H，因?yàn)锳M=MC=,∠AMC＝120°，所以∠CMH＝60°，所以CH=,所以△AMC的面積=，△BNC的面積=，所以△AMC的面積與△BNC的面積之比為1：9，故④正確，所以①②③④都正確．

考點(diǎn)：1．切線的性質(zhì)；2．切線長(zhǎng)定理；3． 等邊三角形的判定與性質(zhì)；4．相似三角形的判定與性質(zhì)；5．特殊角的三角函數(shù)值．