Question

（1）、動(dòng)手操作：

如圖①：將矩形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，點(diǎn)C落在點(diǎn)處，折痕為EF，若∠ABE＝20°，那么的度數(shù)為         .

（2）、觀察發(fā)現(xiàn)：

小明將三角形紙片ABC（AB＞AC）沿過點(diǎn)A的直線折疊，使得AC落在AB邊上，折痕為AD，展開紙片（如圖②）；再次折疊該三角形紙片，使點(diǎn)A和點(diǎn)D重合，折痕為EF，展平紙片后得到△AEF（如圖③）．小明認(rèn)為△AEF是等腰三角形，你同意嗎？請(qǐng)說明理由．

（3）、實(shí)踐與運(yùn)用：

將矩形紙片ABCD按如下步驟操作：將紙片對(duì)折得折痕EF，折痕與AD邊交于點(diǎn)E，與BC邊交于點(diǎn)F；將矩形ABFE與矩形EFCD分別沿折痕MN和PQ折疊，使點(diǎn)A、點(diǎn)D都與點(diǎn)F重合，展開紙片，此時(shí)恰好有MP＝MN＝PQ（如圖④），求∠MNF的大小.

 

Answer 1

【答案】

（1）、125°；（2）、同意；（3）、60°

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余求得∠AEB=70°，根據(jù)折疊重合的角相等，得∠BEF=∠DEF=55°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠EFC=125°，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠EFC′=∠EFC=125°；

（2）根據(jù)第一次折疊，得∠BAD=∠CAD；根據(jù)第二次折疊，得EF垂直平分AD，根據(jù)等角的余角相等，得∠AEG=∠AFG，則△AEF是等腰三角形；

（3）由題意得出：∠NMF=∠AMN=∠MNF，MF=NF，由對(duì)稱性可知，MF=PF，進(jìn)而得出△MNF≌△MPF，得出3∠MNF=180°求出即可．

試題解析：（1）、∵在直角三角形ABE中，∠ABE=20°，

∴∠AEB=70°，

∴∠BED=110°，

根據(jù)折疊重合的角相等，得∠BEF=∠DEF=55°．

∵AD∥BC，

∴∠EFC=125°，

再根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠EFC′=∠EFC=125°．；

（2）、同意，如圖，設(shè)AD與EF交于點(diǎn)G

由折疊知，AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD．

由折疊知，∠AGE=∠DGE=90°，

所以∠AGE=∠AGF=90°，

所以∠AEF=∠AFE．

所以AE=AF，

即△AEF為等腰三角形．

（3）、由題意得出：∠NMF＝∠AMN＝∠MNF，

∴MF＝NF，

由折疊可知，MF＝PF，

∴NF＝PF，

而由題意得出：MP＝MN，

又∵M(jìn)F＝MF，

∴△MNF≌△MPF，

∴∠PMF＝∠NMF，而∠PMF＋∠NMF＋∠MNF＝180°，

即3∠MNF＝180°，

∴∠MNF＝60°.

考點(diǎn)：1.折疊的性質(zhì)；2.等邊三角形的性質(zhì)；3.全等三角形的判定和性質(zhì)；4.等腰三角形的判定