如圖,在平面直角坐標系中,已知△AOB是等腰三角形,OB=AB,∠OBA=120°,點B的坐標是(精英家教網(wǎng)0,4),點A在第一象限.點R是x軸上的一個動點,連接BR,并把△BOR繞著點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn),使邊BO與BA重合,得到△BAQ.
(1)求點A的坐標;
(2)當點R運動到點(
2
3
3
,0)時,求此時點Q的坐標;
(3)當點Q落在x軸上時,請直接寫出點R的坐標;
(4)是否存在點R,使△ORQ的面積等于
3
2
?若存在,請求出所有符合條件的點R的坐標;若不存在,請說明理由.
分析:(1)過A點作x軸、y軸的垂線AE、AF,解直角三角形求AE、AF即可.
(2)過點Q作AE的垂線交EA的延長線于點H,交y軸于點N.依題意得∠BAE=60°,∠QAH=30°.解Rt△AHQ得AH、QH,再利用A點的坐標求QN,HE,即為Q點的橫、縱坐標;
(3)此時點R在x軸的負半軸,∠OBQ=60°,則∠RBO=60°,已知OB=4,解Rt△OBR可求OR,再表示R點的坐標;
(4)設(shè)點R的坐標為(t,0),根據(jù)t>0,-4
3
≤t≤0,t<-4
3
,分別求解.
解答:解:(1)如圖1,過點A作AE⊥x軸于點E,作AF⊥y軸于點F,
精英家教網(wǎng)
則AF=AB•sin∠ABF=2
3
,
BF=AB•cos∠ABF=2,
∴AE=OF=4+2=6,
∴點A的坐標為(2
3
,6).

(2)如圖2,
精英家教網(wǎng)
∵△BAQ由△BOR旋轉(zhuǎn)得到,∴△BAQ≌△BOR.
∴AQ=OR=
2
3
3
,∠BAQ=∠BOR=90°.
過點Q作AE的垂線交EA的延長線于點H,交y軸于點N,
則∠BAE=60°,∠QAH=30°.
在Rt△AHQ中,AH=AQ•cos30°=1,QH=AQ•sin30°=
3
3

∴QN=2
3
-
3
3
=
5
3
3
,HE=6+1=7.
∴點Q的坐標為(
5
3
3
,7).
(3)此時點R在x軸的負半軸,
∠OBQ=60°,則∠RBO=60°,
已知OB=4,
在Rt△OBR中:OR=4
3
,
∴點R(-4
3
,0).
(4)假設(shè)存在點R,在它的運動過程中,使△ORQ的面積等于
3
2
.設(shè)點R的坐標為(t,0),下面分三種情況討論.
①當t>0時,如圖3,
精英家教網(wǎng)
AQ=OR=t,AH=
3
2
t
,HE=
3
2
t+6
,

1
2
t(
3
2
t+6)=
3
2


解得t1=
14
-2
3
,t2=-
14
-2
3
(舍去).

②當-4
3
<t≤0
時,如圖4,
精英家教網(wǎng)
AQ=OR=-t,AH=-
3
2
t
,HE=6-(-
3
2
t)=6+
3
2
t

-
1
2
t(6+
3
2
t)=
3
2

解得t1=
10
-2
3
,t2=-
10
-2
3

③當t<-4
3
時,如圖5,
精英家教網(wǎng)
AQ=OR=-t,AH=-
3
2
t
,HE=-
3
2
t-6

-
1
2
t(-
3
2
t-6)=
3
2

解得t1=
14
-2
3
(舍去),t2=-
14
-2
3

∴符合條件的點R的坐標為(
14
-2
3
,0)或(
10
-2
3
,0)或(-
10
-2
3
,0)或(-
14
-2
3
,0).
點評:本題考查了坐標系中點的坐標的求解方法,綜合運用了解直角三角形的知識.
練習冊系列答案
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(1)求點B的坐標;
(2)當∠CPD=∠OAB,且
BD
AB
=
5
8
,求這時點P的坐標.

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5
29
5
29

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5
5

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k
x
圖象上一點,PA=OA,S△PAO=10,則反比例函數(shù)y=
k
x
的解析式為(  )

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(2)當直線CP把梯形OABC的面積分成相等的兩部分時,求直線CP的解析式;
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