Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)．
（1）求證：四邊形AEFD是平行四邊形；
（2）若∠A=60°，AB=2AD=4，求BD的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明：如圖．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD且AB=CD，
∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，
∴AE=AB，DF=CD．
∴AE=DF，
∴四邊形AEFD是平行四邊形；
（2）解：過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AB于點(diǎn)G．
∵AB=2AD=4，
∴AD=2．
在Rt△AGD中，∵∠AGD=90°，∠A=60°，AD=2，
∴AG=AD•ADcos60°=1，DG=AD•sin60=．
∴BG=AB-AG=3．
在Rt△DGB中，∵∠DGB=90°，DG=，BG=3，
∴DB===2．
分析：（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和平行四邊形的判定方法證明即可；
（2）過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AB于點(diǎn)G，利用已知條件和銳角三角函數(shù)以及勾股定理即可求出BD的長(zhǎng)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及平行四邊形的判定和特殊角的銳角三角函數(shù)、勾股定理的運(yùn)用，題目的綜合性很強(qiáng)，難度不大．