Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCO的頂點(diǎn)C、A分別在x、y軸上，A（0，6）、E（0，2），點(diǎn)H、F分別在邊AB、OC上，以H、E、F為頂點(diǎn)作菱形EFGH

（1）當(dāng)H（﹣2，6）時(shí)，求證：四邊形EFGH為正方形
（2）若F（﹣5，0），求點(diǎn)G的坐標(biāo)
（3）如圖2，點(diǎn)Q為對(duì)角線(xiàn)BO上一動(dòng)點(diǎn)，D為邊OA上一點(diǎn)，DQ⊥CQ，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿BO方向移動(dòng)．若移動(dòng)的路徑長(zhǎng)為3，直接寫(xiě)出CD的中點(diǎn)M移動(dòng)的路徑長(zhǎng)為 ．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：如圖1中，

∵E（0，2），H（﹣2，6），

∴OE=AH=2，

∵四邊形ABCO是正方形，

∴∠HAE=∠EOF=90°，

∵四邊形EFGH是菱形，

∴EH=EF，

在Rt△AHE和Rt△OEF中，

，

∴Rt△AHE≌△Rt△OEF，

∴∠AEH=∠EFO，

∵∠EFO+∠FEO=90°，

∴∠AEH+∠FEO=90°，

∴∠HEF=90°，

∴四邊形EFGH是正方形

（2）

解：如圖1中，連接GE、FH交于點(diǎn)K．

∵F（﹣5，0），E（0，2），

∴OF=5，OE=2，EA=4，

∵HE=EF，

∴52+22=42+AH2，

∴AH= ，

∴H（﹣ ，6），

∵四邊形EFGH是菱形，

∴HK=KF，KE=KG，設(shè)G（m，n），則有 = ， = ，

∴m=﹣5﹣ ，n=4，

∴G（﹣5﹣ ，4）

（3）
【解析】（3）解：如圖2中，

如圖2中，作MN⊥CO于M．
∵M(jìn)N∥OD，CM=MD，
∴CN=ON，
∴MN垂直平分線(xiàn)段CO，
∴點(diǎn)M在線(xiàn)段OC的垂直平分線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，
如圖3中，易知當(dāng)點(diǎn)Q與B重合時(shí)，點(diǎn)M與BD的中點(diǎn)N重合，

當(dāng)BQ=3時(shí)，作EQ⊥BC于E，延長(zhǎng)EQ交OA于F，延長(zhǎng)OM交BC于H，連接NM（線(xiàn)段MN的長(zhǎng)即為點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)），
∵QC=QD，∠CEQ=∠QFD，易證∠ECQ=∠FQD，
∴△EQC≌△FDQ，
∴EQ=DF=BE= ，CE=OF=6﹣ ，
∴DO=6﹣3 ，
∵CM=DM，∠CMH=∠OMD，∠CHM=∠DOM，
∴△HMC≌△OMD，
∴OM=HM，CH=OD=6﹣3 ，BH=3 ，
∵ON=NB，
∴MN= BH= ，
∴點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)的路徑的長(zhǎng)為 ．
所以答案是 ．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握菱形的四條邊都相等；菱形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直，并且每一條對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角；菱形被兩條對(duì)角線(xiàn)分成四個(gè)全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)的積的一半；正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對(duì)角線(xiàn)相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角；正方形的一條對(duì)角線(xiàn)把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對(duì)角線(xiàn)與邊的夾角是45o；正方形的兩條對(duì)角線(xiàn)把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形才能正確解答此題．