如圖所示,過點F(0,1)的直線y=kx+b與拋物線交于M(x1,y1)和N(x2,y2)兩點(其中x1<0,x2>0).

⑴求b的值.

⑵求x1•x2的值

⑶分別過M、N作直線l:y=-1的垂線,垂足分別是M1、N1,判斷△M1FN1的形狀,并證明你的結論.

⑷對于過點F的任意直線MN,是否存在一條定直線m,使m與以MN為直徑的圓相切.如果有,請求出這條直線m的解析式;如果沒有,請說明理由.

解:⑴b=1

⑵顯然是方程組的兩組解,解方程組消元得,依據(jù)“根與系數(shù)關系”得=-4

⑶△M1FN1是直角三角形

由題知M1的橫坐標為x1,N1的橫坐標為x2,設M1N1交y軸于F1,則F1M1•F1N1

=-x1•x2=4

而FF1=2,所以F1M1•F1N1=F1F2,另有∠M1F1F=∠FF1N1=90°,易證Rt△M1FF1∽Rt△N1FF1

得∠M1FF1=∠FN1F1,故∠M1FN1=∠M1FF1+∠F1FN1=∠FN1F1+∠F1FN1=90°,所以△M1FN1是直角三角形.

⑷ 存在,該直線為y=-1.理由如下:——

直線y=-1即為直線M1N1

如圖,設N點橫坐標為m,則N點縱坐標為,計算知NN1=, NF=,得NN1=NF

同理MM1=MF.

那么MN=MM1+NN1,作梯形MM1N1N的中位線PQ,由中位線性質知PQ=

(MM1+NN1)=MN,即圓心到直線y=-1的距離等于圓的半徑,所以y=-1總與該圓相切.

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(1)求b的值.
(2)求x1•x2的值.
(3)分別過M,N作直線l:y=-1的垂線,垂足分別是 M1和N1.判斷△M1FN1的形狀,并證明你的結論.
(4)對于過點F的任意直線MN,是否存在一條定直線m(m是常數(shù)),使m與以MN為直徑的圓相切?如果有,請求出這條直線m的解析式;如果沒有,請說明理由.

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