Question

14．如圖，在平面直角坐標系中，⊙Q交坐標軸于A，B，C，D，點P在弦EB的延長線上，且BC平分∠ABP．
（1）求證：$\widehat{AC}$=$\widehat{EC}$；
（2）若點B的坐標是（2，0），求AB-BE的值．

Answer 1

分析 （1）首先連接AC，CE，由圓的內接四邊形的性質，易得∠PBC=∠EAC，又由BC平分∠ABP，可得∠EAC=∠ABC，即可證得$\widehat{AC}$=$\widehat{EC}$；
（2）首先連接CE，在AB上取點G，使得AG=BE，連接CG，易證得△ACG≌△ECB（SAS），然后證得△BCG是等腰三角形，即可求得BG的長，繼而求得答案．

解答 （1）證明：連接AC，AE，
∵四邊形ABCD內接于⊙Q，
∴∠CBE+∠CAE=180°，
∵∠PBC+∠CBE=180°，
∴∠PBC=∠CAE，
又∵BC平分∠ABP，
∴∠ABC=∠PBC，
∴∠ABC=∠CAE，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{EC}$；

（2）解：連接CE，在AB上取點G，使得AG=BE，連接CG，
∵B（2，0），
∴OB=2，
∵$\widehat{AC}$=$\widehat{EC}$，
∴AC=CE，
在△ACG和△ECB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=CE}\\{∠BAC=∠BEC}\\{AG=EB}\end{array}\right.$，
∴△ACG≌△ECB（SAS），
∴CG=CB，
又∵DC⊥AB，
∴OG=OB=2，
∴BG=2OB=4，
∴AB-BE=AB-AG=BG=4．

點評 此題屬于圓的綜合題，考查了圓周角的性質、圓的內接四邊形的性質、全等三角形的判定與性質以及弧與弦的關系．注意準確作出輔助線是解此題的關鍵．