Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，AF=10cm，AC=14cm，動點(diǎn)E以2cm/s的速度從A點(diǎn)向F點(diǎn)運(yùn)動，動點(diǎn)G以1cm/s的速度從C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t．
（1）求證：在運(yùn)動過程中，不管t取何值，都有S△AED=2S△DGC ．
（2）當(dāng)t取何值時(shí)，△DFE與△DMG全等．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，

∴DF=DM，

∵S△AED= AEDF，S△DGC= CGDM，

∴ = ，

∵點(diǎn)E以2cm/s的速度從A點(diǎn)向F點(diǎn)運(yùn)動，動點(diǎn)G以1cm/s的速度從C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動，

∴ =2，

即 =2，

∴在運(yùn)動過程中，不管取何值，都有S△AED=2S△DGC

（2）解：設(shè)時(shí)間為t時(shí)，△DFE與△DMG全等，則EF=MG，

①當(dāng)M在線段CG的延長線上時(shí)，

∵點(diǎn)E以2cm/s的速度從A點(diǎn)向F點(diǎn)運(yùn)動，動點(diǎn)G以1cm/s的速度從C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動，

∴EF=AF﹣AE=10﹣2t，MG=AC﹣CG﹣AM=4﹣t，

即10﹣2t=4﹣t，

解得：t=6，

當(dāng)t=6時(shí)，MG=﹣2，所以舍去；

②當(dāng)M在線段CG上時(shí)，

∵點(diǎn)E以2cm/s的速度從A點(diǎn)向F點(diǎn)運(yùn)動，動點(diǎn)G以1cm/s的速度從C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動，

∴EF=AF﹣AE=10﹣2t，MG=AM﹣（AC﹣CG）=t﹣4，

即10﹣2t=t﹣4，

解得：t= ，

綜上所述當(dāng)t= 時(shí)，△DFE與△DMG全等

【解析】（1）由角平分線的性質(zhì)可知DF=DM，所以△AED和△DEG的面積轉(zhuǎn)化為底AE和CG的比值，根據(jù)路程=速度×?xí)r間求出AE和CG的長度即可證明在運(yùn)動過程中，不管取何值，都有S△AED=2S△DGC ． （2）若△DFE與△DMG全等，則EF=MG，利用已知條件求出EF和MG的長度，建立方程解方程即可求出運(yùn)動的時(shí)間．