Question

如圖，△ABD和△CBD有公共邊BD，且∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC．求證：BD²=AB²+BC²．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì),勾股定理

專題：證明題

分析：要證明BD²=AB²+BC²，想到勾股定理，由于BD，AB，BC不在同一個三角形中，連接AC，將△DCB繞點C旋轉(zhuǎn)60°到△ACE的位置，連接EB，證明△ABE是直角三角形即可．

解答：證明：如圖，連接AC，
∵AD=CD，∠ADC=60°，
∴△ADC是正三角形．
∴DC=CA=AD．
將△DCB繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°到△ACE的位置，連接EB，
∴DB=AE，CB=CE，∠BCE=∠ACE-∠ACB=∠BCD-∠ACB=∠ACD=60°，
∴△CBE為正三角形．
∴BE=BC，∠CBE=60°．
∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°．
在Rt△ABE中，由勾股定理得AE²=AB²+BE²．
∴BD²=AB²+BC²．

點評：本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理的運用，解題的關(guān)鍵是能夠充分運用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，把要證明的線段轉(zhuǎn)換到一個三角形中，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)發(fā)現(xiàn)一個直角三角形，再根據(jù)勾股定理即可證明．