Question

【題目】如圖1，直線AB與x軸、y軸分別交于點A、B，作等腰直角三角形ABC，使∠BAC＝90°，將△ABC沿著射線AB平移得到△A′B′C′，當點A′與點B重合時停止運動．設平移距離為m，△A′B′C′與△ABO重合部分的面積為S，S關于m的函數圖象如圖2所示．（其中0≤m≤時，函數的解析式不同）

（1）填空：a＝　 　；

（2）求直線AB的解析式；

（3）求S關于m的解析式，并寫出m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）10；（2）y＝﹣x+4；（3）S＝．

【解析】

（1）根據圖形平移距離m=AB=，當m=0時圖象的面積即是三角形ABC的面積，由此即可求出a的值；

（2）根據函數圖象發(fā)生變化時是直線AC過點O，由此得到HA＝m＝，再求出BH，根據射影定理求出OA，再求出OB，得到點A、B的坐標即可求出直線AB的解析式；

（3）分兩種情況：①當0≤m≤時，②當＜m≤時，求S關于m的解析式

（1）從圖2可得：AB＝2，

m＝0時，圖象沒有平移，則此時a＝S△ABC＝AB2＝10，

故答案為：10；

（2）過點O作，

當邊AC過點O時，S的表達式發(fā)生變化，此時邊AC移動到HC′所處的位置，

則HA＝m＝，BH＝AB﹣AH＝，

而OH2＝HAHB＝，則OA＝2，

而AB2＝20，故OB＝4，則點A、B的坐標分別為：（2，0）、（0，4），

將點A、B的坐標代入一次函數表達式并解得：

直線AB的表達式為：y＝﹣x+4；

（3）①當0≤m≤時，

如圖1左圖所示，設邊A′C′交x軸于點H，

則A′H＝AA′tanβ，

S＝S四邊形BA′HO＝S△ABO﹣S△AA′H＝OA×OB﹣A′A×A′H＝×m2×＝﹣m2，

當m＝時，S＝＝b，

②當＜m≤時，

如圖1右圖所示，設邊A′C′交y軸于點G，

S＝S△A′BG＝×A′B×A′G＝×AB′2×tanα＝×（﹣m）2＝（﹣m）2；

綜上，S＝.