Question

18．如圖，AD是△ABC的中線，AB=AE，AC=AF，∠BAE=∠FAC=90°．判斷線段AD與EF數(shù)量和位置關(guān)系．

Answer 1

分析 猜想：EF=2AD，EF⊥AD．
證明：延長AD到M，使得AD=DM，連接MC，延長DA交EF于N，易證BD=CD，即可證明△ABD≌△MCD，可得AB=MC，∠BAD=∠M，即可求得∠EAF=∠MCA，即可證明△AEF≌△CMA，可得EF=AM，∠CAM=∠F，即可解題．

解答 解：EF=2AD，EF⊥AD．
證明：延長AD到M，使得AD=DM，連接MC，延長DA交EF于N，
∴AD=DM，AM=2AD，
∵AD是△ABC的中線，
∴BD=CD，
在△ABD和△MCD中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=DM}\\{∠ADB=∠MDC}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△MCD，（SAS）
∴AB=MC，∠BAD=∠M，
∵AB=AE，
∴AE=MC，
∵AE⊥AB，AF⊥AC，
∴∠EAB=∠FAC=90°，
∵∠FAC+∠BAC+∠EAB+∠EAF=360°，
∴∠BAC+∠EAF=180°，
∵∠CAD+∠M+∠MCA=180°，
∴∠CAD+∠BAD+∠MCA=180°，
即∠BAC+∠MCA=180°，
∴∠EAF=∠MCA．
在△AEF和△CMA中，$\left\{\begin{array}{l}{AF=AC}\\{∠EAF=∠MCA}\\{AE=CM}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△CMA，
∴EF=AM，∠CAM=∠F，
∴EF=2AD；
∵∠CAF=90°，
∴∠CAM+∠FAN=90°，
∵∠CAM=∠F，
∴∠F+∠FAN=90°，
∴∠ANF=90°，
∴EF⊥AD．

點評 本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△ABD≌△MCD和△AEF≌△CMA是解題的關(guān)鍵．