Question

【題目】如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，矩形ABCD的DC邊在x軸上，D點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣6，0）邊AB、AD的長分別為3、8，E是BC的中點(diǎn)，反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過點(diǎn)E，與AD邊交于點(diǎn)F．

（1）求k的值及經(jīng)過A、E兩點(diǎn)的一次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）若x軸上有一點(diǎn)P，使PE+PF的值最小，試求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，連接EF、PE、PF，在直線AE上找一點(diǎn)Q，使得S△QEF＝S△PEF直接寫出符合條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）k＝－12，y＝﹣x；（2）P（﹣5，0）；（3）Q（﹣，）或（﹣，）．

【解析】

（1）先確定點(diǎn)B，C坐標(biāo)，進(jìn)而得出點(diǎn)E坐標(biāo)，最后用待定系數(shù)法即可求出直線AE解析式；

（2）先找出點(diǎn)F關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)F′的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線EF′的解析式，進(jìn)一步即可得出結(jié)論；

（3）先求出△PEF的面積，再求出直線EF的解析式，設(shè)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)系中求三角形面積的方法建立方程求解，進(jìn)而得出結(jié)論．

解：（1）在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝8，

∴CD＝AB＝3，BC＝AD＝8，

∵D（﹣6，0），

∴A（﹣6，8），C（﹣3，0），B（﹣3，8），

∵E是BC的中點(diǎn)，

∴E（﹣3，4），

∵點(diǎn)E在反比例函數(shù)y＝的圖象上，

∴k＝﹣3×4＝﹣12，

設(shè)經(jīng)過A、E兩點(diǎn)的一次函數(shù)的表達(dá)式為y＝k′x+b，

∴，解得，

∴經(jīng)過A、E兩點(diǎn)的一次函數(shù)的表達(dá)式為y＝﹣x；

（2）如圖1，由（1）知，k＝﹣12，

∴反比例函數(shù)的解析式為y＝﹣，

∵點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為﹣6，∴點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為2，∴F（﹣6，2），

作點(diǎn)F關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)F′，則F′（﹣6，﹣2），

連接EF′交x軸于點(diǎn)P，此時(shí)，PE+PF的值最小，

∵E（﹣3，4），

∴直線EF′的解析式為y＝2x+10，

令y＝0，則2x+10＝0，解得x＝﹣5，

∴P（﹣5，0）；

（3）如圖2，由（2）知，F′（﹣6，﹣2），

∵E（﹣3，4），F（﹣6，2），

∴S△PEF＝S△EFF′﹣S△PFF′＝×（2+2）×（﹣3+6）﹣（2+2）×（﹣5+6）＝4，

∵E（﹣3，4），F（﹣6，2），

∴直線EF的解析式為y＝x+6，

由（1）知，經(jīng)過A、E兩點(diǎn)的一次函數(shù)的表達(dá)式為y＝﹣x，

設(shè)點(diǎn)Q（m，﹣m），

過點(diǎn)Q作y軸的平行線交EF于G，

∴G（m，m+6），

∴QG＝|﹣m﹣m﹣6|＝|2m+6|，

∵S△QEF＝S△PEF，

∴S△QEF＝|2m+6|×（﹣3+6）＝4，

∴m＝﹣或m＝﹣，

∴Q（﹣，）或（﹣，）．