Question

4．如圖1，拋物線y=ax²+bx-4a經(jīng)過(guò)A（-1，0）、C（0，4）兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)B．
（1）求拋物線的解析式；
（2）已知點(diǎn)D（m，m+1）在第一象限的拋物線上，求點(diǎn)D關(guān)于直線BC對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）如圖2，點(diǎn)P為第一象限拋物線上一點(diǎn)，是否存在使△PBC面積最大的點(diǎn)P？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（4）如圖3，若拋物線的對(duì)稱軸EF（E為拋物線頂點(diǎn)）與直線BC相交于點(diǎn)F，M為直線BC上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN∥EF交拋物線于點(diǎn)N，以E，F(xiàn)，M，N為頂點(diǎn)的四邊形能否為平行四邊形？若能，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由于拋物線y=ax²+bx-4a經(jīng)過(guò)A（-1，0）、C（0，4）兩點(diǎn)，根據(jù)待定系數(shù)法可求拋物線的解析式；
（2）將點(diǎn)D（m，m+1）代入y=-x²+3x+4中，得到D（3，4），得到CD∥x軸，由B（4，0）、C（0，4）可得：OB=OC=4，根據(jù)等腰直角三角形的判定可得△OBC是等腰直角三角形，得：∠OCB=∠DCB=45°；再關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)即可求解；
 （3）根據(jù)待定系數(shù)法可求直線BC的解析式，再根據(jù)三角形面積公式和二次函數(shù)的最值即可求解；
（4）根據(jù)拋物線y=-x²+3x+4的頂點(diǎn)坐標(biāo)得到E$（\frac{3}{2}，\frac{25}{4}）$，直線BC：y=-x+4；當(dāng)$x=\frac{3}{2}$時(shí)，y=-$\frac{3}{2}$+4=$\frac{5}{2}$，可得$F（\frac{3}{2}，\frac{5}{2}）$，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可得$EF=\frac{15}{4}$，如圖3，過(guò)點(diǎn)M作MN∥EF，交拋物線于點(diǎn)N，設(shè)N（x，-x²+3x+4），則M（x，-x+4）；則MN=|（-x²+3x+4）-（-x+4）|=|-x²+4x|；當(dāng)EF與NM平行且相等時(shí)，四邊形EFMN是平行四邊形，則|-x²+4x|=$\frac{15}{4}$，解方程可求點(diǎn)N的坐標(biāo)．

解答 解：（1）依題意，有：$\left\{\begin{array}{l}{a-b-4a=0}\\{-4a=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$．
故拋物線的解析式：y=-x²+3x+4．              
（2）將點(diǎn)D（m，m+1）代入y=-x²+3x+4中，得：-m²+3m+4=m+1，
化簡(jiǎn)，得：m²-2m-3=0，
解得：m₁=-1（舍），m₂=3；
∴D（3，4），
∴CD∥x軸；
由B（4，0）、C（0，4）可得：OB=OC=4，即△OBC是等腰直角三角形，得：∠OCB=∠DCB=45°；
設(shè)點(diǎn)D關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E，則點(diǎn)E在y軸上，且CD=CE=3，OE=OC-CE=1，則：
點(diǎn)D關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，1）．       
（3）由B（4，0）、C（0，4）可知，直線BC：y=-x+4；
如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥y軸，交直線BC于Q，設(shè)P（x，-x²+3x+4），則Q（x，-x+4）；
則PQ=（-x²+3x+4）-（-x+4）=-x²+4x；
S_△PCB=$\frac{1}{2}$PQ•OB=$\frac{1}{2}$×（-x²+4x）×4=-2（x-2）²+8；
所以，當(dāng)P（2，6）時(shí)，△PCB的面積最大．         
（4）存在．
拋物線y=-x²+3x+4的頂點(diǎn)坐標(biāo)E$（\frac{3}{2}，\frac{25}{4}）$，
直線BC：y=-x+4；當(dāng)$x=\frac{3}{2}$時(shí)，y=-$\frac{3}{2}$+4=$\frac{5}{2}$，
則$F（\frac{3}{2}，\frac{5}{2}）$，
則$EF=\frac{15}{4}$，
如圖3，過(guò)點(diǎn)M作MN∥EF，交拋物線于點(diǎn)N，設(shè)N（x，-x²+3x+4），則M（x，-x+4）；
則MN=|（-x²+3x+4）-（-x+4）|=|-x²+4x|；
當(dāng)EF與NM平行且相等時(shí)，四邊形EFMN是平行四邊形，
則|-x²+4x|=$\frac{15}{4}$
由$-{x^2}+4x=\frac{15}{4}$，解得${x_1}=\frac{5}{2}，{x_2}=\frac{3}{2}$（不合題意，舍去），$當(dāng)x=\frac{5}{2}時(shí)，y=-{（\frac{5}{2}）^2}+3×\frac{5}{2}+4=\frac{21}{4}$，
則${N_1}（\frac{5}{2}，\frac{21}{4}）$，
由$-{x^2}+4x=-\frac{15}{4}$，解得${x_1}=2+\frac{1}{2}\sqrt{31}，{x_2}=2-\frac{1}{2}\sqrt{31}$，
則N₂（$2+\frac{1}{2}\sqrt{31}，-\frac{7}{4}-\frac{1}{2}\sqrt{31}$）；N₃（2-$\frac{1}{2}$$\sqrt{37}$，-$\frac{7}{4}$+$\frac{1}{2}$$\sqrt{37}$）；
綜上所述，存在平行四邊形，點(diǎn)N的坐標(biāo)為${N_1}（\frac{5}{2}，\frac{21}{4}）$，N₂（$2+\frac{1}{2}\sqrt{31}，-\frac{7}{4}-\frac{1}{2}\sqrt{31}$）；N₃（2-$\frac{1}{2}$$\sqrt{37}$，-$\frac{7}{4}$+$\frac{1}{2}$$\sqrt{37}$）．

點(diǎn)評(píng) 考查了二次函數(shù)綜合題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法可求拋物線的解析式，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求直線B解析式，三角形面積公式，二次函數(shù)的最值，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，兩點(diǎn)間的距離公式，平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，以及方程思想，分類思想的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，難度較大．