Question

如圖，P是正方形ABCD內(nèi)一點，PA=3，PB=6，PC=9．求∠APB的度數(shù)．

Answer 1

考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),勾股定理的逆定理,正方形的性質(zhì)

專題：計算題

分析：先根據(jù)正方形的性質(zhì)得到BA=BC，∠ABC=90°，于是把△APB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBE，連結(jié)PE，如圖，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BE=BP=6，CE=AP=3，∠CEB=∠APB，∠PBE=90°，所以△PBE為等腰直角三角形，則PE=

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PB=6

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，∠PEB=45°，然后利用勾股定理的逆定理可證明△PEC為直角三角形，得到∠PEC=90°，則∠CEB=∠PEC+∠PEB=135°，因此∠APB=135°．

解答：解：∵四邊形ABCD為正方形，
∴BA=BC，∠ABC=90°，
∴把△APB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBE，連結(jié)PE，如圖，
∴BE=BP=6，CE=AP=3，∠CEB=∠APB，∠PBE=90°，
∴△PBE為等腰直角三角形，
∴PE=

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PB=6

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，∠PEB=45°
在△PCE中，∵PC²=81，CE²=9，PE²=72，
∴PC²=CE²+PE²，
∴△PEC為直角三角形，∠PEC=90°，
∴∠CEB=∠PEC+∠PEB=135°，
∴∠APB=135°．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了正方形的性質(zhì)和勾股定理的逆定理．