Question

如圖1，已知拋物線C₁：y=x²-2x+c和直線l：y=-2x+8，直線y=kx（k＞0）與拋物線C₁交于兩不同點A、B，與直線l交于點P．且當k=2時，直線y=kx（k＞0）與拋物線C₁只有一個交點．
（1）求c的值；
（2）求證：

1

OA

+

1

OB

=

2

OP

，并說明k滿足的條件；
（3）將拋物線C₁沿第一象限夾角平分線的方向平移

2

t（t＞0）個單位，再沿y軸負方向平移（t²-t）個單位得到拋物線C₂，設(shè)拋物線C₁和拋物線C₂交于點R；如圖2．
①求證無論t為何值，拋物線C₂必過定點，并判斷該定點與拋物線C₁的位置關(guān)系；
②設(shè)點R關(guān)于直線y=1的對稱點Q，拋物線C₁和拋物線C₂的頂點分別為點M、N，若∠MQN=90°，求此時t的值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）將y=2x代入y=x²-2x+c，可得關(guān)于x的一元二次方程，由于兩個函數(shù)只有一個交點，那么方程的根的判別式△=0，可據(jù)此求出c的值；
（2）討論

1

OA

+

1

OB

與

2

OP

的關(guān)系，雖然都在同一直線上，但因為不平行與x軸或y軸，所以并不易直接討論，通常我們過這三點分別作A、P、B關(guān)于x軸的垂線則將OA，OB，OP，轉(zhuǎn)化為x_A，x_B，x_P，則由函數(shù)圖象交點性質(zhì)及韋達定理等知識，易證結(jié)論．而k只需滿足題目要求，使得圖象有兩個相異的交點A，B．
（3）①二次函數(shù)的平移我們通�？紤]其頂點式，利用左加右減，上加下減的性質(zhì)進行．將拋物線C₁沿第一象限夾角平分線的方向平移

2

t（t＞0）個單位，就是將拋物線向右再向上依次平移t個單位，則易得C₂．恒過定點即使得t的系數(shù)為0，已知定點為（2，4），而討論其與C₁的關(guān)系，一般討論代入后是否滿足以決定是否在拋物線上．代入發(fā)現(xiàn)，其在C₁上，又由其在C₂上，則此頂點即是R點．
②由Q與R關(guān)于y=1對稱，則Q點橫坐標與R相同，縱坐標到y(tǒng)=1的距離等于R到y(tǒng)=1的距離，易得Q（2，-2）．已知解析式，易得頂點式，即得M，N坐標．討論∠MQN=90°，我們通常利用MQ²+NQ²=MN²推出關(guān)于t的方程，解之即可．

解答：解
（1）將y=2x代入y=x²-2x+c，得2x=x²-2x+c，
整理，得x²-4x+c=0，
∵直線與拋物線只有一個交點，
∴△=（-4）²-4c=0，
解得 c=4．

（2）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵A、B為y=kx與C₁的交點，
∴A、B坐標滿足

y=kx y=x2-2x+4

，
∴x₁，x₂滿足x²-（2+k）x+4=0，
∵A、B存在且不重合，
∴△=（2+k）²-16＞0，
∴k＞2或k＜-6．
如圖1，

過A、P、B分別作x軸的垂線，交于A₁、P₁、B₁，
則

OA1

OA

=

OP1

OP

=

OB1

OB

，進而討論

1

OA

+

1

OB

與

2

OP

的關(guān)系，討論

1

OA1

+

1

OB1

與

2

OP1

即可．
∵x₁+x₂=2+k，x₁x₂=4，OA₁=x₁，OB₁=x₂，
∴

1

OA1

=

1

0B1

=

1

x1

+

1

x2

=

2+k

4

．
∵P（x，y）滿足

y=kx y=-2x+8

，
∴（k+2）x=8，
∴x=

8

2+k

，
∴OP₁=

8

2+k

，
∴

2

OP1

=

2+k

4

，
∴

1

OA1

+

1

OB1

=

2

OP1

，
∴

1

OA

+

1

OB

=

2

OP

，且k的條件為：k＞2或k＜-6．

（3）
①
∵C₁：y=x²-2x+4=（x-1）²+3，
∵拋物線C₁沿第一象限夾角平分線的方向平移

2

t（t＞0）個單位，再沿y軸負方向平移（t²-t）個單位得到拋物線C₂，
∴拋物線C₂亦可看成拋物線C₁向右向上依次移動t個單位，再向下平移（t²-t）個單位得到的拋物線，
∵C₂：y=（x-1-t）²+3+t-（t²-t）=x²-2x+（4-2x）t+4，
∴定點為 （2，4），
∵將x=2代入C₁，y=2²-2•2+4=4，
∴定點為 （2，4）在C₁上，即R為（2，4）．

②
∵R、Q關(guān)于直線y=1對稱，且R（2，4），
∴Q（2，-2），
∵C₁：y=（x-1）²+3，
∴M（1，3），
∵C₂：y=x²-2（t+1）x+4t+4=[x-（t+1）]²-t²+2t+3，
∴N（t+1，-t²+2t+3）．
∴MQ²=（2-1）²+[3-（-2）]²=26，MN²=（t+1-1）²+（-t²+2t+3-3）²，NQ²=（t+1-2）²+[-t²+2t+3-（-2）]²，
∵∠MQN=90°，
∴MQ²+NQ²=MN²，
∴26+（t+1-2）²+[-t²+2t+3-（-2）]²=（t+1-1）²+（-t²+2t+3-3）²，
整理得 5t²-9t-26=0，
解得 t=

9+ 601

10

，或t=

9- 601

10

（負值舍去）．

點評：本題是一道綜合型極高的題目難度也很大．題中考查了函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)、二次函數(shù)的特性及平行線成比例、對稱、平移、垂直等性質(zhì)，尤其是（2）的思路技巧相對固定，學生需要加強理解，好好掌握．