Question

已知一次函數(shù)y=-x+3的圖象與x軸交于點(diǎn)A、與y軸交于點(diǎn)B，BC∥x軸，且∠ACB的正切值為3．
（1）求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；
（2）若某二次函數(shù)圖象經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)，試求該圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）設(shè)x=0，則y=0+3，解得y=3，
則B點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，3）
設(shè)y=0，則0=-x+3，
解得：x=3，則A點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），
過點(diǎn)C作CD⊥OD，垂足為D，
則AO=3，BO=CD=3，
又∵BC∥x軸，
∴∠ACB=∠CAD，
∵tan∠ACB=3，
∴tan∠CAD=3，
在△ACD中，
∵∠ADC=90°，tan∠CAD=3，CD=3，
∴AD=1，
∴OD=4，
∵C點(diǎn)的縱坐標(biāo)和B點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，
∴C（4，3）；

（2）設(shè)二次函數(shù)解析式為 y=ax²+bx+c，
∵函數(shù)圖象經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)，
∴，
解得：；
∴二次函數(shù)解析式為y=x²-4x+3，
∵y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-1）．
分析：（1）對于一次函數(shù)y=-x+3中可分別設(shè)y=0，x=0，即可求出圖象與x軸點(diǎn)A、與y軸交點(diǎn)B；再利用已知條件和解直角三角形的知識可求出C點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c把A，B，C三點(diǎn)坐標(biāo)代入，列方程組求a、b、c的值，即可求出二次函數(shù)解析式，再把函數(shù)解析式配方即可求出該圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)．
點(diǎn)評：本題考查了一次函數(shù)和兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題和用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式的方法以及用配方法求二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)條件確定拋物線解析式的形式，再求其中的待定系數(shù)．