Question

將邊長(zhǎng)為4的等邊△ABC放置在邊長(zhǎng)為1的小正三角形組成的虛線(xiàn)網(wǎng)格中．
（1）在圖①中畫(huà)出將等邊△ABC向右平移3格后所得的△A₁B₁C₁，則四邊形ABB₁A₁是平行四邊形嗎試說(shuō)說(shuō)你的理由；
（2）將等邊△ABC向右平移n格后得到△A₂B₂C₂，若四邊形ABB₂A₂是菱形，則n的值是多少試在圖②中畫(huà)出平移后的圖形，并計(jì)算此時(shí)菱形ABB₂A₂對(duì)角線(xiàn)BA₂的長(zhǎng)；
（3）如圖③，請(qǐng)你繼續(xù)探索，將等邊△ABC向右平移若干格后得到△A₃B₃C₃，使AC與A₃B₃能互相平分．畫(huà)出平移后的圖形，再連接AB₃、AA₃、A₃C，此時(shí)四邊形AB₃CA₃是怎樣的特殊四邊形？說(shuō)說(shuō)你的理由．

Answer 1

分析：（1）可根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等，判斷ABB₁A₁是平行四邊形；
（2）因AB=4，則向右平移4格后ABB₂A₂是菱形，根據(jù)菱形對(duì)角線(xiàn)的性質(zhì)和勾股定理可得對(duì)角線(xiàn)BA₂的長(zhǎng)；
（3）向右平移2格時(shí)，AC與A₃B₃能互相平分，根據(jù)對(duì)角線(xiàn)平分且相等的四邊形是矩形，可判斷四邊形AB₃CA₃是矩形．

解答：解：
（1）如圖①（1分）
ABB₁A₁是平行四邊形．（2分）
理由如下：∵△A₁B₁C₁是△ABC經(jīng)平移后得，
∴A₁B₁∥AB且A₁B₁=AB，
∴ABB₁A₁是平行四邊形．（3分）

（2）如圖②，向右平移4格后ABB₂A₂是菱形．（4分）
連接BA₂交AC于O點(diǎn)，
∵ABB₂A₂是菱形，
∴AB₂⊥BA₂且AO=B₂O=

1

2

AC=2BO=A₂O，
在Rt△BOB₂中：B₂O²+BO²=BB₂²
∴BO²=4²-2²
∴BO=2

3

，
∴對(duì)角線(xiàn)BA₂=2BO=4

3

．（6分）

（3）如圖③，向右平移2格時(shí)，AC與A₃B₃能互相平分，此時(shí)四邊形AB₃CA₃是矩形．（6分）
理由如下：
∵BB₃=B₃C=

1

2

BC=2，
∴AB₃是等邊△ABC的中線(xiàn)．
∴AB₃⊥B₃C．
∴∠AB₃C=90°．
又∵AA₃∥B₃C且AA₃=B₃C=2，
∴AB₃CA₃是平行四邊形．
∴AB₃CA₃是矩形．（9分）

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查平移作圖、平行四邊形、菱形、矩形的判定．