Question

如圖，點A、點B在雙曲線y=

k

x

上，連接OA、OB、AB，且△OAB為以OB為斜邊的等腰直角三角形，則tan∠AOy的值為

 

．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征,等腰直角三角形

專題：

分析：過點A作AC⊥x軸于C，過點B作BD⊥AC于D，求出∠OAC=∠ABD，再利用“角角邊”證明△AOC和△BAD全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AC=BD，OC=AD，設OC=a，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征表示出AC，再表示出點D的坐標，然后代入反比例函數(shù)解析式得到a、k的方程，然后求出

a2

k

，根據(jù)兩直線平行，內錯角相等可得∠OAC=∠AOy，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)的正切值解答即可．

解答：解：如圖，過點A作AC⊥x軸于C，過點B作BD⊥AC于D，
∵∠OAC+∠BAC=∠ABD+∠BAC=90°，
∴∠OAC=∠ABD，
∵△AOB是等腰直角三角形，
∴OA=AB，
在△AOC和△BAD中，

∠OAC=∠ABD ∠ACO=∠BDA OA=AB

，
∴△AOC≌△BAD（AAS），
∴AC=BD，OC=AD，
設OC=a，則AC=

k

a

，
∴CD=

k

a

-a，
點B的坐標為（

k

a

+a，

k

a

-a），
∵點B在雙曲線上，
∴（

k

a

+a）（

k

a

-a）=k，
∴（

k

a

）²-a²-k=0，
∴a⁴+a²k-k²=0，
解得a²=

-1- 5

2

k（舍去），a²=

-1+ 5

2

k，
∵y軸⊥軸，AC⊥x軸，
∴AC∥y軸，
∴∠OAC=∠AOy，
∴tan∠AOy=

OC

AC

=

a

k a

=

a2

k

=

-1+ 5

2

．
故答案為：

-1+ 5

2

．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，作輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵．