Question

16．在銳角△ABC中，BC=6，S_△ABC=12，矩形MPQN的兩個頂點M，N分別在AB，AC上，另兩個頂點P，Q均在BC上，高AD交MN于點E，設(shè)MN的長為x，矩形MPQN的面積為y．
（1）求AD的長，并用含x的式子表示線段AE的長；
（2）請寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（3）試求y的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用三角形的面積計算公式求得高AD即可；證得△AMN∽△ABC，得出$\frac{AE}{AD}$=$\frac{MN}{BC}$，進一步字母與數(shù)值得出答案即可；
（2）利用矩形的面積計算方法求得y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（3）利用二次函數(shù)的性質(zhì)和配方法求得最大值即可．

解答 解：（1）∵S_△ABC=12，
∴$\frac{1}{2}$BC•AD=12，又BC=6，
∴AD=4；
∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴$\frac{AE}{AD}$=$\frac{MN}{BC}$，
即$\frac{AE}{4}$=$\frac{x}{6}$，
∴AE=$\frac{2}{3}$x；
（2）∵AE=$\frac{2}{3}$x，
∴MP=AD-AE=4-$\frac{2}{3}$x，
∴矩形MPQN的面積為y=x（4-$\frac{2}{3}$x）=-$\frac{2}{3}$x²+4x；
（3）∵y=-$\frac{2}{3}$x²+4x=-$\frac{2}{3}$（x-3）²+6，
∴當(dāng)x=3時，y的最大值是6．

點評 本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握對應(yīng)高的比等于對應(yīng)邊的比的性質(zhì)是正確列出比例式解決問題的關(guān)鍵．