Question

8．有一數(shù)列的首項(xiàng)既不是0，也不是1，而是由下列規(guī)則決定：位于首項(xiàng)后的每一項(xiàng)都等于1減去前一項(xiàng)的倒數(shù)，以此類(lèi)推．
（1）寫(xiě)出首項(xiàng)是3的數(shù)列的前6項(xiàng)；
（2）寫(xiě)出首項(xiàng)是x的數(shù)列的前6項(xiàng)；
（3）求出首項(xiàng)是x的數(shù)列的前2015項(xiàng)的乘積．

Answer 1

分析 （1）按照運(yùn)算規(guī)則，逐個(gè)找出數(shù)列的前六項(xiàng)；
（2）按照運(yùn)算規(guī)則，逐個(gè)找出數(shù)列的前六項(xiàng)；
（3）結(jié)合（1）（2）發(fā)現(xiàn)該規(guī)則下的數(shù)列以3為周期，按照a₁、a₂、a₃循環(huán)的，再結(jié)合2015÷3=671…2，即可得出結(jié)論．

解答 解：數(shù)列中第n項(xiàng)用a_n來(lái)代替．
（1）按照規(guī)則：a₁=3，a₂=1-$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{2}{3}$，a₃=1-$\frac{1}{{a}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$，a₄=1-$\frac{1}{{a}_{3}}$=3，a₅=1-$\frac{1}{{a}_{4}}$=$\frac{2}{3}$，a₆=1-$\frac{1}{{a}_{5}}$=-$\frac{1}{2}$．
故首項(xiàng)是3的數(shù)列的前6項(xiàng)為：3，$\frac{2}{3}$，-$\frac{1}{2}$，3，$\frac{2}{3}$，-$\frac{1}{2}$．
（2）按照規(guī)則：a₁=x，a₂=1-$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{x-1}{x}$，a₃=1-$\frac{1}{{a}_{2}}$=-$\frac{1}{x-1}$，a₄=1-$\frac{1}{{a}_{3}}$=x，a₅=1-$\frac{1}{{a}_{4}}$=$\frac{x-1}{x}$，a₆=1-$\frac{1}{{a}_{5}}$=-$\frac{1}{x-1}$．
故首項(xiàng)是x的數(shù)列的前6項(xiàng)為：x，$\frac{x-1}{x}$，-$\frac{1}{x-1}$，x，$\frac{x-1}{x}$，-$\frac{1}{x-1}$．
（3）結(jié)合（1）（2）發(fā)現(xiàn)數(shù)列是以3為周期，按照前三個(gè)數(shù)一直循環(huán)的．
∵2015÷3=671…2，而a₁×a₂×a₃=x•$\frac{x-1}{x}$•$\frac{-1}{x-1}$=-1，
∴a₁×a₂×a₃×…×a₂₀₁₅=（-1）⁶⁷¹×a₁×a₂=1-x．
故首項(xiàng)是x的數(shù)列的前2015項(xiàng)的乘積為1-x．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)字的變化，解題的關(guān)鍵是：（1）（2）按照運(yùn)算規(guī)則，逐項(xiàng)列出前六項(xiàng)；（3）發(fā)現(xiàn)該規(guī)則下的數(shù)列以3為周期，按照a₁、a₂、a₃循環(huán)的．本題屬于中檔題型，（1）（2）難度不大，（3）稍微有點(diǎn)難度，需要在前面結(jié)果的基礎(chǔ)上找到循環(huán)的規(guī)律．