Question

如圖，在平面直角坐標系xoy中，直線AP交x軸于點P（p，0），交y軸于點A（0，a），且a、b滿足．
（1）求直線AP的解析式；
（2）如圖1，點P關(guān)于y軸的對稱點為Q，R（0，2），點S在直線AQ上，且SR=SA，求直線RS的解析式和點S的坐標；
（3）如圖2，點B（-2，b）為直線AP上一點，以AB為斜邊作等腰直角三角形ABC，點C在第一象限，D為線段OP上一動點，連接DC，以DC為直角邊，點D為直角頂點作等腰三角形DCE，EF⊥x軸，F(xiàn)為垂足，下列結(jié)論：①2DP+EF的值不變；②的值不變；其中只有一個結(jié)論正確，請你選擇出正確的結(jié)論，并求出其定值．

Answer 1

解：（1）根據(jù)題意得，a+3=0，p+1=0，
解得a=-3，p=-1，
∴點A、P的坐標分別為A（0，-3）、P（-1，0），
設(shè)直線AP的解析式為y=mx+n，
則，
解得，
∴直線AP的解析式為y=-3x-3；

（2）根據(jù)題意，點Q的坐標為（1，0），
設(shè)直線AQ的解析式為y=kx+c，
則，
解得，
∴直線AQ的解析式為y=3x-3，
設(shè)點S的坐標為（x，3x-3），
則SR==，
SA==，
∵SR=SA，
∴=，
解得x=，
∴3x-3=3×-3=-，
∴點S的坐標為S（，-），
設(shè)直線RS的解析式為y=ex+f，
則，
解得，
∴直線RS的解析式為y=-3x+2；

（3）∵點B（-2，b），
∴點P為AB的中點，
連接PC，過點C作CG⊥x軸于點G，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴PC=PA=AB，PC⊥AP，
∴∠CPG+∠APO=90°，∠APO+∠PAO=90°，
∴∠CPG=∠PAO，
在△APO與△PCG中，，
∴△APO≌△PCG（AAS），
∴PG=AO=3，CG=PO，
∵△DCE是等腰直角三角形，
∴CD=DE，∠CDG+∠EDF=90°，
又∵EF⊥x軸，
∴∠DEF+∠EDF=90°，
∴∠CDG=∠DEF，
在△CDG與△EDF中，，
∴△CDG≌△EDF（AAS），
∴DG=EF，
∴DP=PG-DG=3-EF，
①2DP+EF=2（3-EF）+EF=6-EF，
∴2DP+EF的值隨點P的變化而變化，不是定值，
②==，
的值與點D的變化無關(guān)，是定值．
分析：（1）根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)列式求出a、p的值，從而得到點A、P的坐標，然后利用待定系數(shù)法求直線的解析式；
（2）根據(jù)關(guān)于y軸的點的對稱求出點Q的坐標，再利用待定系數(shù)法求出直線AQ的解析式，設(shè)出點S的坐標，然后利用兩點間的距離公式列式進行計算即可求出點S的坐標，再利用待定系數(shù)法求解直線RS的解析式；
（3）根據(jù)點B的橫坐標為-2，可知點P為AB的中點，然后求出點B得到坐標，連接PC，過點C作CG⊥x軸于點G，利用角角邊證明△APO與△PCG全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得PG=AO，CG=PO，再根據(jù)△DCE是等腰直角三角形，利用角角邊證明△CDG與△EDF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得DG=EF，然后用EF表示出DP的長度，然后代入兩個結(jié)論進行計算即可找出正確的結(jié)論并得到定值．
點評：本題綜合考查了一次函數(shù)的問題，待定系數(shù)法求直線解析式，非負數(shù)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及關(guān)于y軸對稱的點的坐標的特點，綜合性較強，難度較大，需仔細分析找準問題的突破口．