Question

已知：梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BE⊥CD于點(diǎn)E．DP⊥CB于點(diǎn)P，連接AP、AE．
（1）如圖1，若∠C=45°，求證：AP=AE．
（2）如圖2，若∠C=60°，直接寫出線段AP、AE的數(shù)量關(guān)系______．
（3）在（1）的條件下，將線段EA繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段EA′，使∠DEA′=∠DEA，直線EA′分別與線段BA延長(zhǎng)線、線段BC交于點(diǎn)N、點(diǎn)K，已知AD=1，EK=．求線段NE的長(zhǎng)．

Answer 1

解：（1）在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC．
∵DP⊥CB，
∴AB∥DP，
∴四邊形ABPD是矩形，
∴AD=BP．
∵BE⊥CD，∠C=45°，
∴在Rt△BEC中，∠EBC=∠C=45°．
則在Rt△BFP中，∠FBP=∠BFP=45°，
∴BP=FP，
∴AD=PF．
在Rt△DEF中，∠EDF=∠EFD=45°，則DE=EF．
∴∠ADE=∠ADP+∠FDE=135°，∠PFE=180°-∠BFP=180°-45°=135°，
∴∠ADE=∠PFE．
在△ADE與△PFE中，
，
∴△ADE≌△PFE（SAS），
∴AE=PE，∠DEA=∠FEP，
∴∠DEA+∠AEF=∠FEP+∠AEF=∠AEP=90°，即△AEP是等腰直角三角形，
∴在Rt△AEP中，由勾股定理，得
AE²+PE²=AP²
即AP=AE；

（2）如圖2，連接PE．∵∠C=60°，DP⊥BC，BE⊥DC，
∴∠8=∠5=30°，∠1=∠3=60°（對(duì)頂角相等），
∴△ADE∽△PFE，
∴∠6=∠7（相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等），，
∴∠PAE=30°，
∴cos30°==，解得．

（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AB于點(diǎn)G，EH⊥BC于點(diǎn)H．
∴GE∥BC，EH∥GB，
∴四邊形GBHE是矩形．
∴GE=BH．
由（1）知，∠DEA=∠FEP．
∵∠DEA=∠DEN，∠DEN=∠KEC（對(duì)頂角相等），
∴∠FEP=∠KEC（等量代換），
∴∠EPK=45°+∠BEP，∠EKP=45°+∠KEC，
∴∠EPK=∠EKP，
∴PE=EK．
∵AE=PE，AP=AE，EK=，
∴AP=EK=，BP=1，
∴AB===3，則AB=DP=PC=3．
∴BC=BP+PC=1+3=4，
∴BH=BC=2，
∴BK=3．
易證△NGE∽△NBK，
∴=，即=，
解得，NE=2．
分析：（1）如圖1，連接PE，由條件可以得出△PDC，△DEF是等腰直角三角形，可以證明△ADE≌△PFE，從而證明△AEP為等腰直角三角形，就可以得出結(jié)論．
（2）如圖2，連接PE，由∠C=60°，由條件可以得出∠5=∠8=30°，∠1=∠3=60°，可以證明△ADE∽△PFE，得出∠6=∠7，，從而可以求出∠PAE=30°就可以求出cos30°==，從而求出其值．
（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AB于點(diǎn)G，EH⊥BC于點(diǎn)H．構(gòu)建相似三角形：△NGE∽△NBK．利用（1）的結(jié)論，結(jié)合勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)求得GE=2，BK=3．由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例知=，從而求得NE的值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角梯形、等腰直角三角形以及解直角三角形的應(yīng)用．經(jīng)常通過(guò)作輔助線靈活地解決與梯形有關(guān)的問(wèn)題．