Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC的中點(diǎn)，AD=5，BC=12，CD=4

2

，∠C=45°，點(diǎn)P是BC邊上一動點(diǎn)，設(shè)PB的長為x，
（1）當(dāng)x為何值時，以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為直角梯形？
（2）當(dāng)x為何值時，以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？
（3）點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動的過程中，以P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形能否構(gòu)成菱形？試說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直角梯形,平行四邊形的判定,菱形的判定

專題：動點(diǎn)型

分析：（1）過D作DM⊥BC于M，求出DM、MC，根據(jù)勾股定理求出DE，推出AP⊥BC，求出即可；
（2）分為兩種情況，畫出圖形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)推出即可；
（3）化成圖形，根據(jù)菱形的性質(zhì)和判定求出BP即可．

解答：解：（1）過D作DM⊥BC于M，

∵CD=4

2

，∠C=45°，
∴DM=CM=DC×sin45°=4

2

×

2

2

=4，
∵E是BC的中點(diǎn)，BC=12，
∴BE=CE=6，
∴EM=6-4=2，
在Rt△DME中，由勾股定理得：DE=

42+22

=2

5

，
∵要使以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為直角梯形，
∴只能是∠APB=90°，
即AP⊥BC，AP⊥AD，如圖2，

∵AP=DM，AP∥DM，
∴四邊形APMD是矩形，
∴AD=PM=5，
∴PE=5-2=3，
∴BP=12-6-3=3，
即當(dāng)x為3時，以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為直角梯形；

（2）分為兩種情況：①如圖3，當(dāng)P在E的左邊時，

∵AD=PE=5，CE=6，
∴BP=12-6-5=1；
②如圖4，當(dāng)P在E的右邊時，
∵AD=EP=5，
∴BP=12-（6-5）=11；
即當(dāng)x為1或11時，以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形；

（3）點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動的過程中，以P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形能構(gòu)成菱形，
理由是：分為兩種情況：①當(dāng)P在E的左邊時，如圖3，
∵AD=5，DE=2

5

，
∴AD≠DE，
即此時以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形APED不是菱形；

②如圖4，過點(diǎn)D作DM⊥BC于點(diǎn)M，當(dāng)P在E的右邊時，過A作AQ⊥BC于Q，
則AQ=DM=4，
∵AD=AE=EP=5，
∴BP=BP=6+5=11；
即當(dāng)x為11時，以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為菱形．

點(diǎn)評：本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定，直角梯形的判定，勾股定理等知識點(diǎn)的應(yīng)用，用了分類討論思想，題目比較好，但是比較容易出錯．