已知,如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,點D為AB中點,連接CD.點E為邊AC上一點,過點E作EF∥AB,交CD于點F,連接EB,取EB的中點G,連接DG、FG.
(1)求證:EF=CF;
(2)求證:FG⊥DG.
考點:三角形中位線定理,直角三角形斜邊上的中線
專題:證明題
分析:(1)由“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”得到CD=AD=
1
2
AB;然后根據(jù)“平行線分線段”成比例證得結(jié)論;
(2)如圖,延長EF交BC于點M,連接GM.通過證“GM是△BEC的中位線,F(xiàn)G是△CDM的中位線”,結(jié)合平行線的性質(zhì)可以證得FG⊥DG.
解答:證明:(1)如圖,∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,點D為AB中點,
∴CD是斜邊AB上的中線,
∴CD=AD=BD=
1
2
AB.
又EF∥AB,
EF
AD
=
CF
CD
,
EF
CF
=
AD
CD
=1,
∴EF=CF;

(2)如圖,延長EF交BC于點M,連接GM.
∵EF∥AB,
∴∠CMF=∠CBD.
又∵AD=BD=
1
2
AB,
∴∠DCM=∠CBD,即∠FCM=∠CBD,
∴∠CMF=∠FCM,
∴CF=MF.
又由(1)知,EF=CF,
∴EF=FM,即點F是EM的中點,
又∵EF∥AB,則FM∥AB
∴EM是△ABC的中位線,則點M是BC的中點,
∵點G是BE的中點,
∴DG是△AEB的中位線,GM是△BEC的中位線,
∴GD∥AE,GM∥EC,
∴點D、G、M三點共線,
∴FG是△CDM的中位線,
∴FG∥CM.
又∵M(jìn)C⊥EC,
∴FG⊥DG.
點評:本題考查了直角三角形斜邊上的中線,三角形中位線定理,解答(2)題的技巧在于通過作輔助線,構(gòu)建三角形的中位線,利用三角形中位線定理證得結(jié)論.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(-
1
5
2的平方根是( 。
A、
1
25
B、-
1
25
C、
1
5
D、±
1
5

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某校九年級五班有7個合作學(xué)習(xí)小組,各學(xué)習(xí)小組的人數(shù)分別為:5,6,6,x,7,8,9,已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是7,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是( 。
A、7B、6C、9D、8

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

城市規(guī)劃期間,欲拆除一電線桿AB,已知距電線桿AB水平距離14m的D處有一大壩,背水坡CD的坡度i=1:2,壩高CF為2m,在壩頂C處測得桿頂A的仰角為30°,D、E之間是寬為2m的人行道.
(1)求BF的長;
(2)在拆除電線桿AB時,為確保行人安全,是否需要將此人行道封上?請說明理由.
(在地面上,以點B為圓心,以AB長為半徑的圓形區(qū)域為危險區(qū)域)(
3
≈1.732,
2
≈1.414)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

計算:tan60°-
1
2
8
+(2013-π)0-|
2
-
3
|

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)計算:(-
1
2
-1-|
2
-2|-2sin45°+(3-π)0
(2)化簡:
x-2
x2-1
÷
2x+2
x2+2x+1
+
1
x-1

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖1,在x軸上,有兩點A(m,0),B(n,0)(0<m<n),分別過點A,過點B作x軸的垂線,交拋物線y=-x2于點C,點D,直線OC交直線BD于點E,直線CD交y軸于點F,點E、F的縱坐標(biāo)分別記為yE、yF
(1)①當(dāng)m=1,n=2時,
AC
BE
=
 
,yE=
 
,yF=
 

②當(dāng)m=2,n=5時,yE=
 
,yF=
 

(2)根據(jù)問題(1)猜想yE和yF的關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
(3)若把原題中《拋物線y=-x2》改為《拋物線y=ax2(a<0》,其他條件不變,則yE=
 
,yF=
 

(4)連接EF、OD(圖2),當(dāng)四邊形FODE為平行四邊形時,直接寫出
S△OCA
S△OCD
的值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

要使代數(shù)式
a
2a-1
有意義,則a的取值范圍是
 

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若一個正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(2,-3),則這個圖象一定也經(jīng)過點( 。
A、(-3,2)
B、(
3
2
,-1)
C、(
2
3
,-1)
D、(-
3
2
,1)

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