Question

（2013•東營）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y=nx+2（n≠0）的圖象與反比例函數(shù)y=

m

x

(m≠0)在第一象限內(nèi)的圖象交于點A，與x軸交于點B，線段OA=5，C為x軸正半軸上一點，且sin∠AOC=

4

5

．
（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；
（2）求△AOB的面積．

Answer 1

分析：（1）過A點作AD⊥x軸于點D，根據(jù)已知的∠AOC的正弦值以及OA的長，利用三角形函數(shù)的定義求出AD的長，再利用勾股定理求出OD的長，即可得到點A的坐標，把點A的坐標分別代入到反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式中即可確定出兩函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)x軸上點的特征，令一次函數(shù)的y=0，求出x的值，確定出點B的坐標，得到線段OB的長，利用三角形的面積公式即可求出三角形AOB的面積．

解答：解：（1）過A點作AD⊥x軸于點D，
∵sin∠AOC=

AD

AO

=

4

5

，OA=5，
∴AD=4，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：DO=3，
∵點A在第一象限，
∴點A的坐標為（3，4），
將A的坐標為（3，4）代入y=

m

x

，得4=

m

3

，
∴m=12，
∴該反比例函數(shù)的解析式為y=

12

x

，
將A的坐標為（3，4）代入y=nx+2得：n=

2

3

，
∴一次函數(shù)的解析式是y=

2

3

x+2；

（2）在y=

2

3

x+2中，令y=0，即

2

3

x+2=0，
∴x=-3，
∴點B的坐標是（-3，0）
∴OB=3，又AD=4，
∴S_△AOB=

1

2

OB•AD=

1

2

×3×4=6，
則△AOB的面積為6．

點評：此題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，涉及的知識有：勾股定理，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，三角形的面積，以及三角函數(shù)的定義，用待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式，是常用的一種解題方法，同學們要熟練掌握這種方法．