Question

如圖，在正方形ABCD中，E為AD的中點，EF⊥EC交AB于F，連接FC（AB＞AE），△AEF∽△EFC嗎？若相似，請證明；若不相似，請說明理由．若ABCD為矩形呢？

Answer 1

考點：相似三角形的判定

專題：

分析：根據(jù)線段中點的定義可得AE=DE，求出∠AEF=∠DCE，利用兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似求出△AEF和△DCE相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例可得

AF

DE

=

AE

CD

=

EF

EC

，然后求出

AF

AE

=

EF

EC

，再根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例，夾角相等，兩三角形相似求解即可；矩形時同理可求．

解答：解：∵E為AD的中點，
∴AE=DE，
∵EF⊥EC，
∴∠AEF+∠DEC=90°，
∠DCE+∠DEC=90°，
∴∠AEF=∠DCE，
又∵∠A=∠D=90°，
∴△AEF∽△DCE，
∴

AF

DE

=

AE

CD

=

EF

EC

，
∴

AF

AE

=

EF

EC

，
又∵∠A=∠CEF=90°，
∴△AEF∽△EFC；
ABCD為矩形時，同理可得△AEF∽△DCE，
∴

AF

DE

=

AE

CD

=

EF

EC

，
∴

AF

AE

=

EF

EC

，
又∵∠A=∠CEF=90°，
∴△AEF∽△EFC．

點評：本題考查了相似三角形的判定，正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．